Сильные против слабых решений PDE

Сильная форма PDE требует, чтобы неизвестное решение принадлежало . Но слабая форма требует только того, чтобы неизвестное решение принадлежало . $H^2$ $H^1$

Как вы примиряете это?

pde weak-solution

— Мохамед Чеддади
источник

Класс слабых решений больше, чем класс сильных решений (каждое сильное решение также является слабым решением, но не каждое слабое решение также является сильным решением).

— Кристиан Клэйсон

Но есть только одно решение.

— Мохамед Чеддади

Существует одно решение для каждой (подходящей) правой части функции или набора (подходящих) граничных условий. Пространства соответствующих RHS или BC для слабых решений больше, чем для сильных.

— Билл Барт

Давайте рассмотрим простейший случай уравнения Пуассона в области вместе с однородными условиями Дирихле на границе of . Пока мы предполагаем, что настолько гладкий, насколько мы хотим (например, может параметризоваться функцией ) - это будет важно позже.

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

Теперь вопрос заключается в том, как интерпретировать (чисто формальный) PDE . Обычно на это отвечают с точки зрения того, как интерпретировать производную , но для нашей цели лучше сосредоточиться на том, как интерпретировать уравнение . $(1)$ $\Delta$

Предполагается, что PDE выполняется поточечно для каждого . Чтобы это имело смысл, правая часть должна быть непрерывной, иначе мы не можем говорить о точечных значениях . Это означает, что вторые (классические) производные решения должны быть непрерывными, т. Е. Мы должны искать . Функция которая удовлетворяет вместе с граничным условием поточечно, называется классическим решением (иногда, к сожалению, также сильным решением ). $(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ $(2)$
Требование, чтобы непрерывным, слишком ограничительно для практических применений. Если мы только предположим, что выполняется поточечно для почти каждого (т. Везде, кроме множеств нулевой меры Лебега), то мы можем сойти с . Это означает, что вторые производные являются функциями в , что имеет смысл, если мы берем слабые производные и, следовательно, ищем . (Помните, что для функций , которые не являются непрерывными, мы не можем взять граничное условие $f$ $(1)$ $x\in \Omega$ $f\in L^2(\Omega)$ $L^2$ $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $u$ $(2)$ поточечно. Так как $\partial \Omega$ имеет нулевую меру Лебега как подмножество в $\bar\Omega$ , точечно почти везде также не имеет смысла.)

Функция $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ , удовлетворяющая $(1)$ точечно почти везде, называется сильной решение . Обратите внимание, что в общем случае необходимо и нетривиально показывать, что такое решение существует и является уникальным (что имеет место для примера здесь).
Если мы уже имеем дело со слабыми производными, мы также можем дополнительно ослабить предположения о $f$ . Если мы возьмем $(1)$ в качестве абстрактного операторного уравнения в $H^{-1}(\Omega)$ , двойственного пространства $H^1_0(\Omega)$ , то это имеет смысл для всех $f\in H^{-1}(\Omega)$ (что является пространство больше, чем $L^2(\Omega)$ ). В значительной степени по определению двойственного пространства и слабой производной, $(1)$ в этом смысле эквивалентно уравнению в вариациях
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
Функция $u\in H^1_0(\Omega)$ , удовлетворяющая $(3)$ , называетсяслабым решением. Опять же, в общем случае необходимо и нетривиально показывать, что такое решение существует и является уникальным (что имеет место для примера здесь).

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

$(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
$f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ или более сложные, нелинейные уравнения; см., например, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)

— Кристиан Клэйсон
источник

Я нашел этот ответ действительно полезным. Можете ли вы дать ссылку на вашу последнюю часть вашего ответа? Я хотел бы видеть пример, где PDE имеет уникальное сильное решение, но допускает несколько слабых решений. Благодаря!

— индукция601