Неявные конечно-разностные схемы для уравнения переноса

15

В сети обсуждается множество схем ФД для уравнения переноса . Например, здесь: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html $\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Но я не видел, чтобы кто-нибудь предлагал "неявную" схему против ветра, подобную этой: . $\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Все схемы против ветра, которые я видел, имели дело с данными о предыдущем временном шаге в пространственной производной. В чем причина этого? Как классическая схема против ветра сравнивается с той, что я написал выше?

finite-difference implicit-methods advection

— Tiam
источник

15

В вычислительной гидродинамике довольно часто используются неявные схемы, аналогичные тем, которые вы предлагаете. Те, о которых я знаю, основаны на компактных конечно-разностных формулах (а не просто на замене на в существующих схемах). Например, одна из наиболее широко используемых схем была разработана Леле в 1992 году в этой статье с> 2500 цитатами. Такие схемы могут иметь лучшие дисперсионные свойства, чем типичные явные схемы. $n$ $n+1$

Перемотка обычно менее важна при использовании неявных методов и больших временных шагов, потому что огромное количество диффузии (упомянуто Джереми) означает, что вы все равно не можете разрешать удары.

Что касается конкретной схемы, которую вы предлагаете:

Он может быть получен из дискретизации метода строк с использованием обратной разницы в пространстве и обратного (неявного) метода Эйлера во времени.
Он безусловно стабилен до тех пор, пока (что интересно, он также стабилен при если шаг по времени не слишком мал !) $u\ge0$ $u<0$
Это более диссипативно, чем традиционная явная схема против ветра.
В отличие от явной схемы против ветра, она не удовлетворяет условию единичного КЛЛ (т. Е. Она не является точной в случае, когда ). Вместо этого он удовлетворяет условию CFL против единицы (это точно, если ). $\tau u/h = 1$ $\tau u/h = -1$

— Дэвид Кетчесон
источник

Хорошая мысль о компактных схемах, это, безусловно, важный класс неявных схем! Кроме того, никогда не думал о том, что состояние КЛЛ против юнитов и отсталый Эйлер точны ...

— Джереми Коздон

Мне интересно, если также подлежит изменению по и, следовательно, находится внутри пространственной производной (таким образом, мы получаем уравнение непрерывности, если мы берем вместо ), простая ли схема против ветра все еще в порядке?

u

$u$

x

$x$

ρ

$\rho$

T

$T$

— Tiam

Хорошо, если он может обрабатывать отрицательные скорости, потому что это может иметь место в моей проблеме.

— Tiam

12

Нет причины, по которой вы не можете делать то, что написали. Одна из причин того, что это необычно, заключается в том, что для задач гиперболического (адвекционного) типа область зависимости конечна. Таким образом, явные методы имеют смысл с точки зрения эффективности вычислений.

Написанная вами неявная схема потребует решения линейной системы, хотя в том случае, если вы написали треугольную, и, следовательно, ее довольно просто решить. Конечно, когда вы переходите к системам и нескольким измерениям, система, скорее всего, не будет треугольной, хотя иногда это может привести к правильному упорядочению ваших неизвестных (см., Например, Kwok and Tchelepi, JCP 2007 и Gustafsson and Khalighi, JSC, 2006 ).

Иногда в надежде сделать большие временные шаги люди будут использовать неявный временной шаг, как вы написали, но здесь вы должны быть осторожны. При использовании неявного метода вы будете вводить большое количество диффузии, поэтому вы значительно размажете свое решение.

— Джереми Коздон
источник

1

x

$x$