Проецирование нулевого пространства

Учитывая систему где A ∈ R n × n , я прочитал, что, если итерация Якоби используется в качестве решателя, метод не будет сходиться, если b имеет ненулевую компоненту в нуль-пространстве A , Итак, как можно формально утверждать, что при условии, что b имеет ненулевой компонент, охватывающий нулевое пространство в A , метод Якоби не сходится? Интересно, как это могло быть математически формализовано, поскольку часть решения, ортогональная пустому пространству, сходится.

$$Ax=b,$$ $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$$b$$A$$b$$A$

Следовательно, проецируя нулевое пространство из каждой итерации, оно сходится (или?).$A$

.........

Меня особенно интересует случай где L - симметричная лапласова матрица с нулевым пространством, натянутым на вектор 1 n = [ 1 … 1 ] T ∈ R n , а b имеет нулевую компоненту в нуль-пространство L , J b = b , где J = I -

$$Lx=b,$$ $L$$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$$b$$L$ $$Jb=b,$$ - центрирующая матрица. Означает ли это, что на каждой итерации Якоби будетпроецироватьсянулевое пространствоL, т. Е. Каждая итерация будетцентрирована? Я спрашиваюэтомтак как тогда не было бы никакой необходимости проецировать из нуль-пространстваLот Якоби итерацию (или, другими словами,центритерациях).$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$$L$$L$

Правильное условие разрешимости не имеет ничего общего с нулевым пространством (если не является симметричным) , но с нулевым пространством A T . Если A T u = 0, то A x = b означает, что u T b = u T A x = 0 , следовательно, b должно быть ортогонально любому нулевому вектору A T (в противном случае решения не существует, и итерация Якоби не имеет причины сходиться).$A$$A$$A^T$$A^Tu=0$$Ax=b$$u^Tb=u^TAx=0$$b$$A^T$

Но если это так, решение существует, а в квадратном случае их бесконечно много.

В единственном случае, поскольку никто никогда не знает, выполняется ли это условие (и оно все равно будет испорчено округлением), обычно решают проблему как задачу наименьших квадратов. Чтобы найти минимальное решение нормы, используйте сопряженные градиенты на нормальных уравнениях; Для этого нужно код умножения на и А Т . (Учитывая только процедуру для умножения на A , можно вместо этого использовать GMRES с менее предсказуемыми свойствами сходимости.)$A$$A^T$$A$