Равиарт-Томас элементы на эталонном квадрате

Я хотел бы узнать, как работает элемент Raviart-Thomas (RT). С этой целью я хотел бы аналитически описать, как базисные функции выглядят на контрольном квадрате. Цель здесь не в том, чтобы реализовать это самостоятельно, а в том, чтобы просто получить интуитивное понимание элемента.

Я в значительной степени основываю эту работу на обсуждаемых здесь треугольных элементах , возможно, расширение ее на четырехугольники само по себе является ошибкой.

Тем не менее, я могу определить основные функции для первого элемента RK RK0:

дляi=1,…,

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$$ $i = 1,\dots,4.$

Условия на таковы:$\mathbf{\phi}_i$

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$

где - нормаль к единице, показанная ниже, а x j - ее координата.$\mathbf{n}_j$$\mathbf{x}_j$

Это контрольный квадрат , так что это приводит к системе уравнений для каждой базисной функции. Для ϕ 1 это:$[-1,1]\times[1,1]$$\mathbf{\phi}_1$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

который можно решить, чтобы дать:

$$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$$

Другие базисные функции можно найти аналогично.

Предполагая, что это правильно, следующий шаг - найти базисные функции для RK1. Это где я немного неуверен в себе. По ссылке выше интересующее нас пространство:

$$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$$

Основой для будет { 1 , x , y $P_1$$\{ 1, x, y\}$

Я думаю, что это означает, что базисные функции RK1 должны принимать форму:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$$

Это оставляет 10 неизвестных для каждой базисной функции. Если мы применим те же условия, что и в случае RK0, а именно:

, где п J представляет единичныйнормаликак показано ниже:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$ $\mathbf{n}_j$

это дает нам 8 уравнений. Другие 2, я думаю, можно найти с некоторых моментов. Я не совсем уверен, как именно. Ссылка выше говорит об интеграции с базой для , но у меня возникают проблемы с выяснением, что это значит. Я на правильном пути или я что-то здесь упустил?$[P_1]^2$

В общем, вы не можете просто перенести один и тот же полиномиальный базис из четырехгранных в четырехугольные элементы. ¹ В частности, весь смысл четырехугольных элементов заключается в работе с тензорными произведениями одномерных полиномов, что невозможно для тетраэдрических элементов.

$RT_k$

$$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$$ $$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$$ $k=0$$k=1$ $$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$$ $\dim RT_1 = 12$$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$$RT_k$$k+1$

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$$ $\{q_j\}$$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$$\{1,x,y\}$$k=1$ $$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$$ $e_m$$\nu_{e_m}$$m$$q_{m,j}$$P_k(e_m)$$\{1,x\}$$\{1,y\}$$k=1$

$H(div)$

---

_{$k$$k$$k$$k$$x^2y$$3$$2$}