Проверка в задачах на собственные значения

Давайте начнем с проблемы формы

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

с набором заданных граничных условий ( Дирихле , Неймана , Робина , Периодического , Блох-Периодического ). Это соответствует нахождению собственных значений и собственных векторов для некоторого оператора $\mathcal{L}$ при некоторой геометрии и граничных условиях. Подобную проблему можно получить, например, в акустике, электромагнетизме, эластодинамике, квантовой механике.

Я знаю, что можно дискретизировать оператора, используя различные методы, например, конечно-разностные методы для получения

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

или используя методы конечных элементов для получения

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

В одном случае получение задачи на собственные значения и обобщенной задачи на собственные значения в другом. После получения дискретной версии задачи используется решение для задачи на собственные значения.

Некоторые мысли

Метод Изготовленных Решений в этом случае бесполезен, так как отсутствует исходный член для балансировки уравнения.
Можно проверить, что матрицы и хорошо захвачены, используя проблему частотной области с источником члена, например $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
вместо того

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Но это не проверит решающие проблемы.
Может быть, можно сравнить решения для разных методов, таких как FEM и FDM.

Вопрос

Как проверить решения (пары «собственное значение - собственный вектор») для схем дискретизации, используя численные методы, такие как FEM и FDM, для задач на собственные значения?

— Никогуаро
источник

Можете ли вы сравнить свои результаты со спектрами для известных случаев (квадрат, куб, круг, сфера)? Существуют также ожидаемые скорости сходимости для собственных векторов и собственных значений в соответствующих нормах, которые вы можете проверить (хотя эти показатели, как правило, варьируются в зависимости от частоты - см. Journals.cambridge.org/action/… )

— Джесси Чан,

Да, вы можете сравнить с аналитическими решениями. Но обычно они предусмотрены для действительно простых случаев. Вопрос в том, как сделать процесс проверки. Если есть что-то похожее на метод ой, изготовленные решения. Или, если вы должны объединить этот метод для других задач с аналитическими решениями.

— Никогуаро

В одном измерении, если вы начинаете с желаемых

и имеете

, вы можете попытаться разложить

, если такие

существуют, и затем бегите с

. Полагаю, это может испортить симметрию

и другие свойства. Здесь

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ должен быть линейно независимым и не может исчезать в одной точке.

— Кирилл

@JesseChan, спасибо за предложенное чтение. Это заняло у меня некоторое время, но я прочитал это. Я не думаю, что они предоставляют достаточно информации для желаемой цели.

— Никогуаро

Я хочу быть уверен, что правильно вас понял. Вы хотите знать, как оценить расстояние между вычисленными собственными парами для дискретного оператора (матрицы или матрицы) и соответствующей собственной парой для гладкого оператора? Или вы хотите сейчас, как оценить точность, с которой вы решили проблему дискретных собственных значений?

— Карл Кристиан

Ответы:

Я понимаю, что этот вопрос старый, но я только увидел его и нашел его интересным. В прошлом я следовал предложениям, содержащимся в комментариях к этому вопросу, в сочетании с некоторыми более сложными случаями, с которыми я знаком в литературе (Орр-Зоммерфельд всегда удобен).

Однако мне также известна некоторая литература по неоднородным проблемам собственных значений, возникающим при построении готового решения. Здесь обсуждаются некоторые проблемы: DOI: 10.1016 . Эти авторы также предлагают так называемый метод изготовленных поперечных сечений (MXS, я полагаю), чтобы вообще избежать этой проблемы, которую я не буду притворяться понимать в данный момент, но она вполне может быть полезной.

— Спенсер Брингельсон
источник

То, что они предлагают как «неоднородную проблему собственных значений», - это подход, который я предложил в своем первоначальном посте. Я все еще пытаюсь понять Метод Изготовленных Поперечных сечений, все же.

— Никогуаро

Я осознаю это, просто предполагая, что для таких проблем существует некоторая литература, поэтому она не может быть тупиковой, как вы предложили: «Производственные решения в этом случае бесполезны, так как не существует исходного термина для баланса уравнения».

— Спенсер Брингельсон

Это не критика вашего поста. Наоборот! Я просто комментирую то, что нашел после прочтения ссылки для продвижения обсуждения.

— Никогуаро

Для производной второго порядка (и лапласиана на простых областях) доступны выражения для дискретных собственных пар (т.е. после дискретизации). Например, для конечных разностей, собственные пары перечислены здесь .

Выражение для собственных пар с конечно-элементной дискретизацией может быть найдено аналогично (для дискретизации P1 и P2).

— user7440
источник