Возведение

В статье « Методы конечных элементов иерархического соответствия для бигармонического уравнения» П. Освальд утверждал, что элементы типа Клаф-Тохера$C^1$непрерывность, будучи кубическим полиномом на каждом треугольнике. Он не дал набор явных базисных функций только стандартные степени свободы в квадратурных точках.

Точно так же в книге 3 «Математическая теория методов конечных элементов» авторы дают нам конструкцию конечных элементов кубического Эрмита, но они не упоминают непрерывность кубических элементов Эрмита.

Однако в работе « Дифференциальные комплексы и численная устойчивость» Дулгас Арнольд предложил для$C^1$/$H^2$-конформное дискретное пространство, мы должны использовать конечные элементы эрмитовой квинтики (точнее, Argyris), что очень сложно выразить явно.

Итак, вот мои вопросы:

(1) Есть ли какая-либо статья, которая предлагает явную формулу для $C^1$/$H^2$конечные элементы на треугольной или тетраэдрической сетке?

(2) Должна ли кусочно-кубическая минимальная степень требования полиномов для $C^1$-непрерывности?

Кубические элементы Эрмита имеют непрерывную нормальную производную, но не полную $C^1$непрерывность. В частности, нормальные производные могут не совпадать на границе двух элементов вдали от вершин. Если хочешь полный$C^1$Непрерывность вам придется использовать элемент Argyris или Hsieh-Clough-Tucker или что-то еще. Я рекомендую обсуждение в главе 6 книги конечных элементов Чиарлета.

Степень полинома, необходимая для $C^1$Непрерывность будет зависеть от вашего пространственного измерения, но в 2D или 3D я не думаю, что вы можете обойтись без кубических полиномов. Вы можете рассмотреть какой-то несоответствующий метод, который может позволить более простое пространство конечных элементов.

Я отсылаю вас к книге Сплайны о триангуляциях . Я не могу найти свою копию в данный момент, чтобы дать вам лучший ответ, но я вспоминаю обсуждение / теоремы о полиномиальном порядке, необходимом для$C^1$пространства. Если я правильно помню, Лай доказывает, что при определенных условиях$p=3$ хорошо, но $p=5$ всегда достаточно.

К сожалению, я также помню, что Лай не показывает, как построить $C^1$пространства, только доказать, что они существуют, учитывая триангуляцию и сплайн-пространство. Получив это доказательство, он решает свое приложение с помощью дополнительных уравнений линейного ограничения для обеспечения соблюдения$C^1$ состояние.

Вы можете обратиться к следующим страницам для полного списка основных функций для Argyris : FEMList.pdf Википедия (на французском)

Кроме того, вы можете использовать пакет VT-ICAM ArgyrisPack, который мы с коллегой разработали.