Какой итерационный метод может эффективно решить линейную систему с таким спектром

У меня есть линейная система с матрицей, собственные значения которой равномерно распределены на единичной окружности, например:

введите описание изображения здесь

Можно ли эффективно решить этот тип системы с помощью итеративного метода, может быть, с некоторым предварительным условием?

linear-algebra iterative-method preconditioning

— faleichik
источник

Я думаю, что МИНРЕС сделает это, хотя я знаю о похожих результатах только для реального спектра. Вы знаете больше о матрице (в частности, это нормально)?

— Кристиан Клэйсон

Кроме того, взгляните на страницу page.math.tu-berlin.de/~liesen/Publicat/LiTiGAMM.pdf

— Кристиан

Эта статья также является хорошим справочным материалом. В частности, применение метода сопряженных градиентов к нормальным уравнениям ( ), хотя и нецелесообразно для матриц с большим числом условий, может работать в вашем случае, поскольку сингулярные значения выглядят довольно близко к 1.

A^{*} A x = A^{*} b

$A^*Ax = A^*b$

— Даниэль Шаперо

@ChristianClason в общем случае матрица не нормальная. Он имеет определенную блочную структуру и редок. Спасибо за ссылку!

— фалеичик

Если матрица очень ненормальная, то мое предложение CGNE неверно, но этот документ должен быть хорошим началом. В библиотеке PETSc есть почти все решатели подпространств Крылова под солнцем, так что вы можете попробовать их все и посмотреть, какой из них работает лучше всего. Для этого есть также интерфейс Python, который делает вещи намного удобнее.

— Даниэль Шаперо

Матрица очень хорошо подготовлена, поэтому GMRES (k) должна работать без предварительной обработки.

— Арнольд Ноймайер
источник

Хотя матрица хорошо обусловлена, это не обязательно означает, что GMRES хорошо сходится. Пример октавы (Matlab): `n = 100; A = глаз (n); p = [n, 1: n-1]; A = A (:, p); номер_условия = cond (A), b = глаз ( n, 1) + rand (n, 1) * 1e-6; [x, flag, relres, iter, resvec] = gmres (A, b); закрыть все; полулогия (resvec); рисунок; сюжет (eig (A) ),) ""; `

— Вим

@wim: вы правы; Я безосновательно предполагал, что был нормальным.

A

$A$

— Арнольд Ноймайер