Пространственно-временная дискретизация конечных элементов для зависящих от времени PDE

В литературе FEM полувариационные методы обычно используются при решении зависящих от времени PDE. Я не видел полностью вариационного подхода, то есть, когда FEM дискретизирует пространство и время, возможно, позволяя использовать неструктурированные сетки пространства-времени. Хотя методы временного шага могут быть проще в реализации, есть ли конкретная причина, почему пространственно-временное построение не является жизнеспособным? Я предполагаю, что нужно приспособить сетки, чтобы уважать физические свойства данной проблемы, но я не уверен.

Полная дискретизация пространственно-временных уравнений с частными производными, зависящих от времени, действительно важна. Если вы используете структурированную сетку во времени (в том смысле, что дискретизация времени не зависит от пространства) и соответствующий выбор пробных и тестовых функций, вы можете использовать несколько стандартных методов пошагового изменения времени (Crank-Nicolson, неявный Euler или некоторый Runge). -Кутта) в рамках Галеркина, который дает элегантный подход для анализа. Это описано, например, в книге Томе « Метод конечных элементов Галеркина для параболических задач» (Springer, 2nd ed., 2006) или в статье Хрисафино и Уокингтона « Оценки погрешности для разрывных методов Галеркина для параболических уравнений» (SIAM J. Numer. Anal 44.1, 349–366, 2006).

Использование полностью неструктурированной сетки менее распространено, но может иметь смысл для гиперболических задач, когда у вас есть транспорт информации по характеристикам. Если вы используете прерывистую формулировку Галеркина, каждый элемент пространства-времени связывается только с соседним элементом посредством граней (у вас нет глобальных требований к непрерывности), и вы можете использовать быстрый процесс для вычисления решения, переходя от элемента к элементу по характеристикам - своего рода «косой» шаг по времени. Конечно, это гораздо сложнее реализовать, даже если для этого не требуется хранить всю сетку пространства-времени (что может быть непомерно). С другой стороны, вы получаете преимущество неструктурированных сеток, позволяющих локальное (адаптивное) уточнение и, следовательно, локально адаптивное временное изменение.Пространственно-временные методы конечных элементов для эластодинамики: формулировки и оценки ошибок , Компьютерные методы в прикладной механике и технике 66 (3): 339-363, 1988 . Есть также докторская диссертация Шрипата Тита о пространственно-временном построении для разрывных методов Галеркина .

Другой контекст, в котором я видел эту идею, связан с PDE-зависимой оптимизацией для параболических задач. Там вы можете сформулировать необходимые условия оптимальности первого порядка в виде связанной системы уравнений вперед-назад, которую вы можете интерпретировать как смешанную формулировку эллиптического уравнения 2-го порядка во времени, 4-го порядка в пространстве с начально-конечным (и граничные условия. Выполняя адаптивную пространственно-временную дискретизацию этой связанной системы, вы можете получить эффективный однократный подход к вычислению решения, см. Гонг, Хинце, Чжоу: аппроксимация конечных элементов пространственно-временными параболическими задачами оптимального управления , Дж. Нумер. Математика 20 (2): 111-145 (2012) .

Есть более свежие статьи о методах пространства-времени. Есть один из Штейнбаха, конечного элемента пространства-времени, а другой из Langer et. al, Изогеометрический анализ пространства-времени - все проблемы параболической эволюции. В обеих статьях они ярко описывают вариационные формулировки, но в разных условиях. Как следует из заголовков, первый использует FEM, а второй IgA. Я думаю, что это дает хорошую информацию, особенно о том, что вы ищете.

В последней главе второго издания монографии « Численная математика» Quatteroni et. Кроме того , есть раздел о пространстве-времени, который также может быть полезен, особенно при подключении к$\theta-$схем.

Реализация тензорного продукта Space-Time сильно отличается от не тензорных. Последнее немного сложно, особенно для FEM.