Можно ли использовать метод линий для дискретизации всех PDE?

Я обнаружил, что метод линий - очень естественный способ думать о дискретизации PDE. Поэтому я всегда по умолчанию придерживаюсь этого подхода, когда мне предлагают новый набор уравнений. Я никогда не видел PDE, где это не будет работать.

Мне интересно, есть ли методы дискретизации (или типы PDE), которые не могут быть сформулированы с помощью метода линий. Я ожидаю, что любой PDE, где производная по времени подразумевается в уравнении и не может быть решена, будет одним из таких случаев (хотя я не знаю фактического примера этого). Я ищу рассуждения о том, почему метод линий всегда применим или контрпример.

Одна ситуация, в которой обычный метод линейного метода не может быть использован простым способом, - это уравнения с смешанными производными пространства-времени. Под «обычным методом линейного метода» я подразумеваю дискретизацию пространственных производных с последующей применение метода Рунге-Кутты или линейного многошагового метода. Обычно это относится только к системам эволюционных PDE первого порядка.

Примером уравнений с такими смешанными производными является уравнение. (2.1) из http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

По крайней мере, в некоторых случаях можно переписать такие уравнения как системы эволюции PDE первого порядка, но я не сразу вижу способ сделать это здесь. Могут быть другие приемы, чтобы применить метод линий к таким уравнениям, но я не знаю их.