Оптимальное использование расщепления Штранга (для уравнения диффузии реакции)

Я сделал странное наблюдение, вычисляя решение простого одномерного уравнения диффузии реакции:

$\frac{\partial}{\partial t}a=\frac{\partial^2}{\partial x^2}a-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}b=-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Начальное значение является константой ( ), и меня интересует только интеграл по от до ( ). Цель и уравнение состоит в том, чтобы просто оценить этот интеграл.$b$$b(0,x)=b_0$$a$$0$$1$$\int_0^1a(t,x)dt$$c$$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Я использовал схему расщепления Штранга для связи между диффузией и реакцией (полуэтапная реакция, затем полноэтапная диффузия, а затем снова полуэтапная реакция), схема Кранка Николсона для диффузии и аналитическое решение для реакции ( включая уравнение ).$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Поскольку один шаг аналитического решения был более чем в 3 раза медленнее, чем один шаг по схеме Крэнка Николсона, я попытался сделать более одного шага Кранка Николсона для каждого этапа реакции. Я надеялся пройти с меньшим шагом схемы раскола Strang, так что я буду быстрее в целом.

Однако можно наблюдать противоположный эффект, а именно, что для схемы расщепления Штранга требуется гораздо больше шагов, если используется более одного шага Крэнка Николсона. (Я озабочен только с точностью до интеграла по , который , кажется, сходятся быстрее , чем сама.) После того, как интересно , на какое - то время, я заметил , что тот же эффект также происходит для , и это я даже понимаю, почему для этого случая. Дело в том, что если я сделаю ровно один шаг Крэнка Николсона, то общая схема превратится в правило трапеции (если ).$a$$a$$b(t,x)=b_0=0$$b(t)=0$

Поэтому, если бы я рассматривал как часть шага диффузии, увеличение числа шагов Крэнка Николсона (вероятно) не приведет к снижению общей точности (как наблюдалось). Но это, кажется, лишает смысла использование аналитического решения для (нелинейной и потенциально очень жесткой) реакционной части системы.$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Итак, вот мой вопрос: есть ли лучший способ обработать в контексте расщепления Странга, чем рассматривать его как часть этапа реакции или обрабатывать это как часть этапа диффузии. Я хочу избежать того, чтобы меня «заставляли» использовать для диффузии ровно один шаг Крэнка Николсона. (Например, в 3D я предпочел бы решать диффузию аналитически с помощью БПФ, а не с помощью Крэнка Николсона. Конечно, я также могу комбинировать БПФ с Крэнком Николсоном, так что это не такая уж большая проблема.)$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Я собираюсь написать это как ответ, хотя он не дает прямого ответа на вопрос.

Подсоединяя второе уравнение и третье уравнение к первому, и подключая третье ко второму, вместе получим: Перестановка этих двух значений дает: Теперь мы можем интегрировать оба из них один раз в , оставляя для первое уравнение:

$$\begin{align} \frac{\partial^2 c}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial t} \\ \frac{\partial b}{\partial t} &= - \left(\frac{\partial c}{\partial t}\right) b \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - b \right) &= 0 \\ \frac{1}{b}\left(\frac{\partial b}{\partial t}\right) &= -\frac{\partial c}{\partial t} \end{align}$$ $t$ $$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b + A(x)$$ Используя третье уравнение, мы можем выразить "постоянную" интегрирования как . Второе уравнение немного сложнее. Немного переписав, мы имеем: Это приводит к решению или Вычисление дает: И, наконец, добавление этого в PDE для дает $A(x)=a_0-\frac{\partial^2 c_0}{\partial x^2}-b_0$ $$\int_0^t \frac{1}{b(x,t')}\left(\frac{\partial b(x,t')}{\partial t'}\right) dt' = -\int_0^t \frac{\partial c(x,t')}{\partial t'} dt'$$ $$\ln b(x,t) - \ln b_0(x) = - c(x) + c_0(x)$$ $$\ln \frac{b}{b_0} = -c + c_0$$ $$b = b_0 e^{c_0-c}$$ $c$ $$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b_0 e^{c_0-c}+A(x)$$

Заменив на или эквивалентно используя начальные условия , это уравнение упрощается до Теперь вы сможете найти значительную литературу о том, как лучше всего решить это уравнение. Я не знаю, является ли Кранк-Николсон хорошим выбором для экспоненциального термина, но это кажется правдоподобным. Вероятно, следует позаботиться о том, чтобы везде, иначе решение может быстро взорваться.$c$$c-c_0$$c_0(x)=0$

$$\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + a_0 - (1-e^{-c}) b_0$$ $c > c_0$

Я только дважды прошел этот отрывок, так что в нем может быть одна или две ошибки, но мне это кажется правильным. Если везде, то это, безусловно, правильное решение, и в противном случае оно имеет правдоподобие.$b_0 = 0$

Решение этого до и оценка должны дать вам ответ, который вы ищете.$t=1$$c(x,1)$