Как насчет этой простой оценки ошибки для линейного PDE?

10

Пусть - выпуклая полигонально ограниченная липшицева область в , пусть . $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

Тогда решение задачи Дирихле в , в имеет единственное решение в и корректно, т. Е. Для некоторой константы имеем . $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Для некоторого приближения конечных элементов $u_h$ , скажем, с узловыми элементами на равномерной сетке, мы имеем оценку ошибки

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Кажется (возможно, я ошибаюсь с этим), что люди обычно не используют очевидную оценку ошибки

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

который мы можем получить путем комбинации двух вышеупомянутых неравенств. Вместо этого апостериорные оценщики ошибок разрабатываются в различных формах. Единственное возражение, которое я могу себе представить против приведенного выше уравнения, заключается в том, что на практике константа $C$ может быть слишком пессимистичной или ненадежно оцениваемой.

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
источник

8

Причина, по которой люди предпочитают использовать первую оценку, на мой взгляд, состоит в том, что первая естественным образом возникает из ортогональности Галеркина в FEM, свойства интерполяционной аппроксимации и, что наиболее важно, коэрцитивности билинейной формы (для краевой задачи уравнения Пуассона , это эквивалентно неравенству Пуанкаре / Фридрихса для функций ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ где зависит от константы в неравенстве Пуанкаре / Фридрихса для функций , - это интерполяция в конечном пространство элементов и

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ зависит от минимальных углов сетки.

Хотя оценка эллиптической регулярности относится исключительно к уровню PDE, не имеет к этому никакого отношения приближение плюс приведенный выше аргумент верны даже тогда, когда является распределением. $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Теперь перейдем к тому, почему апостериорные оценки ошибок широко используются, главным образом потому, что:

Он вычислим, в выражении оценок нет общей константы.
Оценщик имеет свою локальную форму, которая может быть индикатором локальной ошибки, используемой в процедуре адаптивного уточнения сетки. Следовательно, проблема с особенностями или действительно «плохими» геометриями может быть решена.

Обе перечисленные вами априорные оценки являются действительными, они предоставляют нам информацию о порядках сходимости, однако ни одна из них не может быть индикатором локальной ошибки только для одного треугольника / тетраэдра, поскольку ни одна из них не может быть вычислена из-за постоянной и при этом они не определены локально.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Для более общего представления о FEM для эллиптических PDE, я настоятельно рекомендую прочитать главу 0 в книге Бреннера и Скотта: математическая теория методов конечных элементов , которая состоит всего из 20 страниц и кратко охватывает почти каждый аспект методов конечных элементов от формулировки Галеркина из PDE до мотивации, почему мы хотели бы использовать адаптивную FEM для решения некоторой проблемы. Надеюсь, это поможет вам больше.

— Шухао Цао
источник

1

Ваша оценка слишком пессимистична по двум направлениям. Вы уже определили первый ( теперь включает не только константу интерполяции, но и константу устойчивости). Во-вторых, оценка ошибки действительно гласит: Обратите внимание, что в правой части есть полунорма , а не норма. Конечно, вы можете связать rhs по полной норме, но вы снова проиграете таким образом. $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Вольфганг Бангерт
источник