Как определить, сходится ли числовое решение ОДУ к континуальному решению?

Теорема эквивалентности Лакса утверждает, что согласованность и устойчивость численной схемы для линейной задачи с начальными значениями является необходимым и достаточным условием сходимости. Но для нелинейных задач численные методы могут очень вероятно сходиться к неправильным результатам, несмотря на то, что они последовательны и устойчивы. Например, эта статья показывает, как метод Годунова первого порядка, примененный к одномерным линеаризованным уравнениям мелкой воды, сходится к неверному решению.

Очевидно, что самосходимости при уточнении сетки и временного шага недостаточно, но точные решения, как правило, недоступны для нелинейных уравнений в частных производных, так как можно определить, сходится ли численный метод к подлинному решению?

pde stability convergence

— Джед браун
источник

Так называемый метод изготовленных решений делает точные решения доступными для всех проблем. Возможно, он не сможет создать проблемные решения, которые вы описываете, но дело не в том, что точные решения никогда не будут доступны.

— Билл Барт

Я думаю, что здесь это сложно, так как вам нужно угадать решение с видом разрыва, который не очень хорошо аппроксимируется методом решения.

— Мэтт Кнепли

Я согласен, что, вероятно, сложно производить решения, которые возбуждают проблемные способы, о которых упоминает Джед. Я просто хотел отметить, что точные решения всегда доступны для тестирования. Я не знаю, что произойдет, если вы создадите решение для 1D линеаризованных уравнений мелкой воды, используя, скажем, сочетание тригонометрических и экспоненциальных функций (типично для точных решений MoM), поверните рукоятку, чтобы получить соответствующие исходные члены, и выполните их по схеме Годунова 1-го порядка. Может быть, Джед может дать ему шанс и доложить.

— Билл Барт

MoM - отличный инструмент, но в этом случае проблема заключается в том, что диффузия неправильно применяется внутри шока. В любом другом месте диффузия, сходящаяся к нулю в каждом уравнении, одинаково приемлема, но диффузия не сходится к нулю внутри шока, поэтому применение численной диффузии к каждому члену в равной степени приводит к неправильной динамике. Я напишу длинный ответ на этот вопрос, когда у меня будет время, если меня никто не побьет.

— Джед Браун

@ Джед, разве не следует применять LET к линеаризованным уравнениям?

— Мэтт Кнепли

Ответы:

В этом отношении необходимо обсудить два основных класса решений.

«Достаточно» гладкие решения

В классической работе Стрэнга показано, что теорема эквивалентности Лакса (т. Е. Идея, что согласованность плюс устойчивость подразумевает сходимость) распространяется на нелинейные решения в частных производных, если они имеют определенное число непрерывных производных . Обратите внимание, что эта статья посвящена гиперболическим проблемам, но результат переносится на параболические проблемы. Количество необходимых производных является технической точкой, но этот подход обычно применим к решениям, которые в строгом смысле удовлетворяют PDE.

Разрывные решения

С другой стороны, мы имеем «решения» PDE с разрывами , которые обычно возникают из нелинейных гиперболических законов сохранения . В этой ситуации, конечно, нельзя сказать, что решение удовлетворяет УОП в сильном смысле, поскольку оно недифференцируемо в одной или нескольких точках. Вместо этого необходимо ввести понятие слабого решения , которое по существу сводится к требованию, чтобы решение удовлетворяло интегральному закону сохранения.

Доказать сходимость последовательности решений в этом случае также сложнее, поскольку -устойчивости недостаточно; обычно нужно показать, что последовательность лежит в компактном пространстве, таком как набор функций с некоторой конечной максимальной полной вариацией. $L_p$ $L_\infty$

Если можно показать, что последовательность сходится к чему-то, и если метод является консервативным, то теорема Лакса-Вендроффа гарантирует, что она сходится к слабому решению закона сохранения. Однако такие решения не являются уникальными . Определение того, какое слабое решение является «правильным», требует информации, которая не содержится в гиперболическом PDE. Как правило, гиперболические уравнения в частных производных получают, пренебрегая параболическими членами в континуальной модели, и правильное слабое решение может зависеть от того, какие именно параболические члены были отброшены (этот последний пункт является предметом статьи, с которой связан вопрос выше ).

Это богатая и сложная тема, и математическая теория далека от завершения. Большинство доказательств сходимости предназначены для одномерных задач и основаны на специализированных методах. Таким образом, практически все фактические вычислительные решения гиперболических законов сохранения на практике не могут быть доказаны сходящимися с существующими инструментами. Для практического обсуждения с вычислительной точки зрения см. Книгу Левека (главы 8, 12 и 15); для более строгого и подробного лечения я бы предложил Dafermos .

— Дэвид Кетчесон
источник

Я мало что могу здесь сделать, кроме как указать, что всякий раз, когда численные методы имеют проблемы с гиперболическими уравнениями (и сходятся к неправильному решению), это обычно не из-за потрясений. Скорее, области, в которых они испытывают трудности, - это волны разрежения, где решение гладкое.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Вольфганг Бангерт
источник

Это отличный момент, хотя в строгом смысле он ортогональн к вопросу. Вы обращаетесь к вопросу о сходящемся к правильному слабому решению, которое на практике является более проблематичным, чем вопрос о сходящемся к какому-либо слабому решению.

— Дэвид Кетчесон