Я знаю, что мы можем использовать методы математического анализа, чтобы доказать, есть ли у IVP или BVP решение, оно уникально и постоянно зависит от граничных / начальных значений. Для некоторых PDE, особенно нелинейных pde, очень трудно, если не невозможно, доказать правильность. Есть ли какой-либо численный метод проверки правильности поставленной задачи?
Можно ли использовать численную схему для определения корректности начальных или краевых задач?
Ответы:
В общем нет. Численное решение может иногда использоваться как грубая мера, чтобы указать, достаточны ли граничные условия, например, для идентификации «плавающих» областей, но во многих случаях дискретные решения дают вам совершенно неверную информацию о проблеме континуума.
Адвекция-диффузия требует граничного условия на всех границах, но дискретные системы не могут использовать граничное условие на выходе (не однородное условие Неймана, я действительно имею в виду отсутствие граничного условия). Мало того, это более точно, чем дискретное представление граничного условия континуума. См. Papanastasiou, Malamataris и Ellwood 1992 и Griffiths 1997 для подробностей. Подобное граничное условие также важно для скольжения на криволинейных поверхностях, см. Behr 2004 .
«Явление карбункула» затрагивает определенные методы сжимаемого потока. Это не очень хорошо понято, но, казалось бы, надежные числовые схемы могут сходиться к ложным решениям. Пример из Robinet et al. 2000
Ложные решения несжимаемых Навье-Стокса в ламинарном режиме. Простой пример приводимой в действие крышкой полости приведен в Schreiber and Keller 1983 .
Системы гиперболических законов сохранения с нефизическим относительным размером численной диссипации. Некоторое численное рассеяние всегда требуется, но в противном случае надежные (например, Годунов) методы могут систематически сходиться к неверным результатам, если численное рассеяние оказывается нефизическим. Простой пример приведен в Мишре и Спиноло 2011где стандартный метод Годунова сходится к неверному результату для 1D линеаризованной мелкой воды. Это представляет собой более глубокую форму в моделировании больших вихрей. Вихревая вязкость является физическим проявлением подсеточных шкал, но если (неизбежное) численное рассеяние больше, чем физическое рассеяние, моделирование может сходиться к систематически неверным результатам. На практике закрывающие подсетки для вихревой вязкости очень важны. Это вопрос определения единственного предела по правильному (физическому) пути.
Эффекты блокировки в режимах упругости или шахматной доски в несжимаемом потоке. Это связано с выбором нестабильного пространства аппроксимации и теперь очень хорошо понято, по крайней мере, для линейных задач, но использование численного решения для определения корректности может привести к выводу, что предел несжимаемости был некорректным.