Оценка колебательных интегралов со многими независимыми периодами и без замкнутых форм

Большинство методов для осциллирующих интегралов, о которых я знаю, имеют дело с интегралами вида

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$ где

ω

$\omega$ большой.

Если у меня есть интеграл вида

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$ где

g_{k}

$g_k$ являются осциллирующими функциями, корни которых известны только приблизительно, но имеют вид асимптотики

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$ известно, с частотами

ω_{k}

$\omega_k$ все разные (и

Q

$\mathbb{Q}$ -линейно независимый), тогда как я могу оценить этот интеграл?

В отличие от случая $e^{i\omega x}$ полиномиальные интегралы $\int x^a \prod g_k(x)$ не известны, поэтому я не могу построить набор полиномиальных интерполантов для $f(x)$ и точно интегрировать интерполанты.

В моей точной проблеме, $g_k$ это функции Бесселя $J_0(\omega_k x)$ , а также $f(x)=x^\alpha$ и область интеграции $[0,\infty)$ , Метод, который я использую сейчас, заключается в суммировании интегральных вкладов за интервалы $[x_{k-1},x_k]$ между корнями до некоторой обрезки $M$ , затем используйте асимптотическое разложение для $g_k(x)$ для большого $x$ , Временная сложность этого алгоритма экспоненциальна в $n$ потому что это предполагает расширение продукта $g_1\ldots g_n$ каждый из которых имеет номер $r$ асимптотических терминов, давая $r^n$ общие условия; слишком короткие сроки обрезки не сокращают время выполнения, достаточное для того, чтобы сделать это возможным для больших $n$ ,

Эвристические не строгие ответы, предложения и рекомендации приветствуются.

quadrature

— Кирилл
источник

Ответы:

Я работал над более простыми интегралами, где есть точки стационарной фазы. Я нашел два метода, которые работают довольно хорошо.

Одним из них является введение экспоненциального коэффициента демпфирования, который зависит от фазовой функции, своего рода искусственной вязкости, если хотите.

Другой метод (где есть несколько точек стат. Фазы) был описан в:

Tuck, EO, Collins, JL and Wells, WH, "О судовых волнах и их спектрах", Journal of Ship Research, с. 11–21, 1971.

Этот метод применяет экспоненциальные коэффициенты затухания к подынтегральному выражению, где оно быстро колеблется от стата. фазовые точки, но оставляют подынтегральную функцию нетронутой, где она не

Это я вне идей!

— Лисистрата
источник

Спасибо, но я не совсем понимаю, как это будет работать в этом случае. С одной стороны, на реальной линии нет точек неподвижной фазы, а вклады колебаний значительны для конечного значения, поэтому не должны быть демпфированы.

— Кирилл

Пока у вас есть точные значения для корней (или экстремумов) колебательной части вашего подынтегрального выражения, метод Лонгмана (как я описал в этом ответе ) остается применимым. Все, что вам нужно сделать, это оценить набор интегралов с интервалами между корнями, используя ваш любимый квадратурный метод, и рассматривать эти интегралы как члены некоторых чередующихся рядов. Затем вы можете использовать любое количество методов ускорения сходимости (Эйлера, Левина, Венигера и т. Д.), Чтобы «суммировать» этот чередующийся ряд.

В качестве примера, в этом ответе по математике. Я оценил бесконечный интеграл, осциллирующая часть которого является произведением двух функций Бесселя.

— JM
источник

Разве не имеет значения, что корни расположены нерегулярно (все периоды иррациональны и независимы)? Почему вы доверяете ускорению сходимости для такой нерегулярной последовательности?

— Кирилл

Это было некоторое время назад, я хотел оценить интеграл до тысячи цифр, и если я правильно помню, колебательная квадратура была фактически первой вещью, которую я попробовал. Я не помню результаты, но я не думаю, что это работало хорошо в то время.

— Кирилл

«Почему вы доверяете ускорению сходимости для такой нерегулярной последовательности?» - Я бы не стал доверять только одному ускорителю, хотя. Но если по крайней мере три разных ускорителя дают мне одинаковые результаты, я думаю, что полученные цифры, по крайней мере, правдоподобны. Кстати, я использовал Лонгмана для бесконечных интегралов произведений функций Бесселя, и я никогда не разочаровывался, особенно когда использовал преобразование Венигера в качестве ускорителя.

— JM

Метод, который я опишу в этом вопросе, также является колебательным квадратурным методом: разложить подынтегральное выражение в ряд членов вида

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$ , бесконечные интегралы для которых имеют замкнутую форму. Я бы доверял такому методу больше, чем ускорение сходимости. Насколько я понимаю, они требуют чего-то вроде сильной монотонности или хорошего понимания терминов ошибок, чтобы быть уверенными, что они будут работать хорошо.

— Кирилл

Если вы можете сделать (обобщенное) разложение Фурье, то обязательно.

— JM