Предположим, что задана следующая линейная система
Я обнаружил в одной высоко цитируемой научной работе в этой области, что, хотя является диагонально доминирующим, такие методы, как Conjugate Gradient, Gauss-Seidl, Jacobi, все еще можно безопасно использовать для решения . Обоснование состоит в том, что из-за инвариантности перевода можно безопасно зафиксировать одну точку (например, удалить первую строку и столбец и первую запись из ), тем самым преобразовав в диагонально доминирующую матрицу. В любом случае, исходная система решается в полной форме с .
Верно ли это предположение, и, если да, каково альтернативное обоснование? Я пытаюсь понять, как сближение методов все еще держится.
Если метод Якоби сходится с Что можно сказать о спектральном радиусе? итерационной матрицы , где диагональная матрица с записями по диагонали? ЯвляетсяТаким образом, отличается от общих гарантий сходимости для ? Я спрашиваю это, так как собственные значения матрицы Лапласас теми, которые по диагонали должны быть в диапазоне,
Из оригинальной работы:
......................................
На каждой итерации мы вычисляем новый макет (x (t +1), y (t + 1)), решая следующую линейную систему:
.......................................
Выше понятие «итерация» относится к базовой процедуре минимизации, и ее не следует путать с итерацией Якоби. Итак, система решается Якоби (итеративно), и затем решение покупается в правой части (8), но теперь для другой итерации базовой минимизации. Я надеюсь, что это проясняет вопрос.
Обратите внимание, что я нашел Какие итерационные линейные решатели сходятся для положительных полуопределенных матриц? , но ищу более сложный ответ.