Быстрое явное решение для

Я ищу быстрое (смею сказать, оптимальное?) Явное решение линейной вещественной задачи 3x3, $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$, $\mathbf{A} \in \mathbf{R}^{3 \times 3}, \mathbf{b} \in \mathbf{R}^{3}$,

матрица $\mathbf{A}$ является общим, но близким к единичной матрице с номером условия, близким к 1. Потому что $\mathbf{b}$ на самом деле измерения датчика с точностью около 5 цифр, я не против потерять несколько цифр из-за числовых проблем.

Конечно, нетрудно придумать явное решение, основанное на любом количестве методов, но если есть что-то, что оказалось оптимальным с точки зрения количества FLOPS, это было бы идеально (в конце концов, вся проблема скорее всего будет вписываться в регистры ФП!).

(Да, эту процедуру часто называют . Я уже избавился от низко висящих фруктов, и это следующее в моем списке профилирования ...)

Вы не можете превзойти явную формулу. Вы можете записать формулы для решения$x=A^{-1}b$на листе бумаги. Позвольте компилятору оптимизировать вещи для вас. Любой другой метод почти неизбежно будет иметь ifоператоры или forциклы (например, для итеративных методов), которые сделают ваш код медленнее, чем любой прямой код.

Поскольку матрица настолько близка к единице, следующие ряды Неймана будут очень быстро сходиться:

В зависимости от требуемой точности это может быть даже достаточно хорошо для усечения после 2 сроков:

Это может быть немного быстрее, чем прямая формула (как предложено в ответе Вольфганга Бангерта), но с гораздо меньшей точностью.

Вы можете получить больше точности с 3 терминами:

но если вы напишите формулу для каждой записи $(3I - 3A + A^2)b$вы смотрите на сопоставимое количество операций с плавающей запятой в качестве прямой формулы обратной матрицы 3х3 (хотя вам не нужно делать деление, что немного помогает).

FLOPS рассчитывать на основе предложений выше:

• LU, без поворота:

  • Mul = 11, Div / Recip = 6, Add / Sub = 11, Total = 28; или
  • Mul = 16, Div / Recip = 3, Add / Sub = 11, Total = 30

• Гауссовское исключение с обратной заменой, без поворота:

  • Mul = 11, Div / Recip = 6, Add / Sub = 11, Total = 28; или
  • Mul = 16, Div / Recip = 3, Add / Sub = 11, Total = 30

• Правило Крамера через расширение кофактора

  • Mul = 24, Div = 3, Add / Sub = 15, Total = 42; или
  • Mul = 27, Div = 1, Add / Sub = 15, Total = 43

• Явное обратное, затем умножить:

  • Mul = 30, Div = 3, Add / Sub = 17, Total = 50; или
  • Mul = 33, Div = 1, Add / Sub = 17, Total = 51

Подтверждение концепций MATLAB:

Правило Крамера через расширение кофактора :

function k = CramersRule(A, m)
%
% FLOPS:
%
% Multiplications:        24
% Subtractions/Additions: 15
% Divisions:               3
%
% Total:                  42

a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

x = m(1);
y = m(2);
z = m(3);

ei = e*i;
fh = f*h;

di = d*i;
fg = f*g;

dh = d*h;
eg = e*g;

ei_m_fh = ei - fh;
di_m_fg = di - fg;
dh_m_eg = dh - eg;

yi = y*i;
fz = f*z;

yh = y*h;
ez = e*z;

yi_m_fz = yi - fz;
yh_m_ez = yh - ez;

dz = d*z;
yg = y*g;

dz_m_yg = dz - yg;
ez_m_yh = ez - yh;


det_a = a*ei_m_fh - b*di_m_fg + c*dh_m_eg;
det_1 = x*ei_m_fh - b*yi_m_fz + c*yh_m_ez;
det_2 = a*yi_m_fz - x*di_m_fg + c*dz_m_yg;
det_3 = a*ez_m_yh - b*dz_m_yg + x*dh_m_eg;


p = det_1 / det_a;
q = det_2 / det_a;
r = det_3 / det_a;

k = [p;q;r];

LU (без поворота) и обратная замена:

function [x, y, L, U] = LUSolve(A, b)
% Total FLOPS count:     (w/ Mods)
%
% Multiplications:  11    16
% Divisions/Recip:   6     3
% Add/Subtractions: 11    11
% Total =           28    30
%

A11 = A(1,1);
A12 = A(1,2);
A13 = A(1,3);

A21 = A(2,1);
A22 = A(2,2);
A23 = A(2,3);

A31 = A(3,1);
A32 = A(3,2);
A33 = A(3,3);

b1 = b(1);
b2 = b(2);
b3 = b(3);

L11 = 1;
L22 = 1;
L33 = 1;

U11 = A11;
U12 = A12;
U13 = A13;

L21 = A21 / U11;
L31 = A31 / U11;

U22 = (A22 - L21*U12);
L32 = (A32 - L31*U12) / U22;

U23 = (A23 - L21*U13);

U33 = (A33 - L31*U13 - L32*U23);

y1 = b1;
y2 = b2 - L21*y1;
y3 = b3 - L31*y1 - L32*y2;

x3 = (y3                  ) / U33;
x2 = (y2 -          U23*x3) / U22;
x1 = (y1 - U12*x2 - U13*x3) / U11;

L = [ ...
    L11,   0,   0;
    L21, L22,   0;
    L31, L32, L33];

U = [ ...
    U11, U12, U13;
      0, U22, U23;
      0,   0, U33];

x = [x1;x2;x3];
y = [y1;y2;y3];

Явное обратное, затем умножение:

function x = ExplicitInverseMultiply(A, m)
%
% FLOPS count:                  Alternative
%
% Multiplications:        30            33
% Divisions:               3             1
% Additions/Subtractions: 17            17
% Total:                  50            51


a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

ae = a*e;
af = a*f;
ah = a*h;
ai = a*i;

bd = b*d;
bf = b*f;
bg = b*g;
bi = b*i;

cd = c*d;
ce = c*e;
cg = c*g;
ch = c*h;

dh = d*h;
di = d*i;

eg = e*g;
ei = e*i;

fg = f*g;
fh = f*h;

dh_m_eg = (dh - eg);
ei_m_fh = (ei - fh);
fg_m_di = (fg - di);

A = ei_m_fh;
B = fg_m_di;
C = dh_m_eg;
D = (ch - bi);
E = (ai - cg);
F = (bg - ah);
G = (bf - ce);
H = (cd - af);
I = (ae - bd);

det_A = a*ei_m_fh + b*fg_m_di + c*dh_m_eg;

x1 =  (A*m(1) + D*m(2) + G*m(3)) / det_A;
x2 =  (B*m(1) + E*m(2) + H*m(3)) / det_A;
x3 =  (C*m(1) + F*m(2) + I*m(3)) / det_A;

x = [x1;x2;x3];

Гауссово исключение:

function x = GaussianEliminationSolve(A, m)
%
% FLOPS Count:      Min   Alternate
%
% Multiplications:  11    16
% Divisions:         6     3
% Add/Subtractions: 11    11
% Total:            28    30
%

a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

b1 = m(1);
b2 = m(2);
b3 = m(3);

% Get to echelon form

op1 = d/a;

e_dash  = e  - op1*b;
f_dash  = f  - op1*c;
b2_dash = b2 - op1*b1;

op2 = g/a;

h_dash  = h  - op2*b;
i_dash  = i  - op2*c;
b3_dash = b3 - op2*b1; 

op3 = h_dash / e_dash;

i_dash2  = i_dash  - op3*f_dash;
b3_dash2 = b3_dash - op3*b2_dash;

% Back substitution

x3 = (b3_dash2                  ) / i_dash2;
x2 = (b2_dash        - f_dash*x3) / e_dash;
x1 = (b1      - b*x2 -      c*x3) / a;

x = [x1 ; x2 ; x3];

Примечание: пожалуйста, не стесняйтесь добавлять свои собственные методы и подсчет к этому сообщению.

Вероятно, правило Крамера. Если вы можете избежать поворота, возможно, LU факторизация; это матрица 3х3, поэтому развернуть петли вручную будет легко. Все остальное, вероятно, будет включать ветвление, и я сомневаюсь, что метод подпространства Крылова достаточно часто сходится за 1 или 2 итерации, чтобы это стоило того.