Ищем Рунге-Кутта 8-го порядка в C / C ++

Я хотел бы использовать метод 8-го порядка Рунге-Кутты (89) в приложении по небесной механике / астродинамике, написанном на C ++, на машине Windows. Поэтому мне интересно, знает ли кто-нибудь хорошую библиотеку / реализацию, которая документирована и бесплатна для использования? Это нормально, если он написан на C, если нет никаких проблем с компиляцией.

До сих пор я нашел эту библиотеку (mymathlib) . Код кажется нормальным, но я не нашел никакой информации о лицензировании.

Можете ли вы помочь мне, раскрывая некоторые альтернативы, которые вы, возможно, знаете и которые подойдут для моей проблемы?

РЕДАКТИРОВАТЬ:
я вижу, что на самом деле не так много исходных кодов C / C ++, как я ожидал. Поэтому версия Matlab / Octave тоже подойдет (все еще должна быть бесплатной для использования).

И GNU Scientific Library (GSL) (C) и увеличить Odeint (C ++) функция 8 - го порядка методов Рунге-Кутта.

Оба с открытым исходным кодом, а в Linux и Mac они должны быть непосредственно доступны из менеджера пакетов. Под окнами вам, вероятно, будет проще использовать Boost, а не GSL.

GSL публикуется под лицензией GPL, а Boost Odeint под лицензией Boost.

Изменить: Хорошо, Boost Odeint не имеет метод Runge-Kutta 89, только 78, но он обеспечивает рецепт для создания произвольных степперов Runge-Kutta.

Однако методы 8-го порядка довольно высоки и, скорее всего, излишни для вашей проблемы.

Prince-Dormand относится к определенному виду Runge-Kutta и не имеет прямого отношения к порядку, но наиболее распространенным является 45. Matlabs ode45, рекомендуемый алгоритм ODE, является реализацией Prince-Dormand 45. Это тот же алгоритм, который реализован в Boost Odeint Runge_Kutta_Dopri5 .

Если вы занимаетесь небесной механикой в ​​течение длительного времени, использование классического интегратора Рунге-Кутты не сохранит энергию. В этом случае лучше использовать симплектический интегратор. Boost.odeint также реализует симплектическую схему Рунге-Кутты 4-го порядка, которая будет работать лучше в течение длительных интервалов времени. Насколько я могу судить, GSL не реализует никаких симплектических методов.

резюмируя некоторые моменты:

1. Если это долгосрочная интеграция недиссапативной модели, то вам нужен симплектический интегратор.
2. В противном случае, поскольку это уравнение движения, методы Рунге-Кутты Нистрома будут более эффективными, чем преобразование в систему первого порядка. Существуют методы RKN высокого порядка благодаря DP. Есть несколько реализаций, как здесь, в Джулии, они документированы, а вот MATLAB .
3. Методы Рунге-Кутты высокого порядка необходимы только в том случае, если вам нужно высокоточное решение. Если это более низкие допуски, то РК 5-го порядка, вероятно, будет быстрее (для той же ошибки). Лучшее, что нужно сделать, если вам часто приходится решать эту проблему, - это протестировать несколько различных методов. В этом наборе тестов для задач из трех тел мы видим, что (для той же ошибки) методы RK высокого порядка являются лишь незначительным улучшением скорости, хотя, как ошибка -> 0, вы можете видеть, что улучшение уже достигает> 5x по сравнению с Dormand - Принять 45 ( DP5), когда вы смотрите на 4 цифры точности (хотя для этого допуски значительно ниже. Допуски являются лишь приблизительным критерием в любой проблеме). По мере того, как вы увеличиваете допуски, даже улучшение улучшается от метода РК высокого порядка, но вам, возможно, придется начать использовать числа с более высокой точностью.
4. Алгоритм порядка Дормана-Принса 7/8 имеет другую схему 8-го порядка, чем метод DP853 в Hairer dop853и DifferentialEquations.jl DP8(которые совпадают). Последний метод 853 не может быть реализован в стандартной табличной версии метода Рунге-Кутты, поскольку его оценка ошибок является нестандартной. Но этот метод гораздо более эффективен, и я бы не рекомендовал даже использовать более старые методы Fehlberg 7/8 или DP 7/8.
5. Для методов высокого порядка РК методы Вернера "Эффективные" являются золотым стандартом. Это проявляется в тестах, которые я связал. Вы можете закодировать их в Boost самостоятельно или использовать один из двух пакетов, которые их реализуют, если вам это нужно (Mathematica или DifferentialEquations.jl).

Я хотел бы добавить, что хотя то, что Джефф Оксберри предлагает для долгосрочной интеграции (с использованием симплектических интеграторов), верно, в некоторых случаях это не сработает. Более конкретно, если у вас есть диссипативные силы, ваша система больше не сохраняет энергию, и поэтому вы не можете прибегнуть к симплектическим интеграторам в этом случае. Человек, задающий вопрос, говорил о низких околоземных орбитах, и такие орбиты демонстрируют большое атмосферное сопротивление, то есть диссипативную силу, которая препятствует использованию таких симплектических интеграторов.

В этом конкретном случае (а также в тех случаях, когда вы не можете использовать / не имеете доступа / не хотите использовать симплектические интеграторы), я бы рекомендовал использовать интегратор Bulirsch-Stoer, если вам нужна точность и эффективность в течение длительного периода времени. Он хорошо работает по опыту, а также рекомендуется в Числовых рецептах (Press et al., 2007).