Как наложить граничные условия в конечно-разностных методах

У меня есть проблема, когда я хочу использовать аппроксимацию разности центров высокого порядка:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

для уравнения Пуассона

в квадратной области, в которой граничные условия:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Когда я хочу получить значение внутренних точек области, учитывая это приближение, некоторые точки зависят от внешних точек границы. Например, должно иметь значение - точка, находящаяся за пределами границы. Кто-нибудь может помочь мне в этом случае? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— Liona
источник

Я полагаю, вы используете граничные условия Дирихле, верно?

— Павел

Пожалуйста, укажите граничные условия, которые вы хотели бы навязать.

— Дэвид Кетчесон

Возможно, ключ заключается в использовании граничных условий для получения ограничений, включающих эти значения. Я не могу расширяться, поскольку я никогда не пытался численно решить PDE, но эта идея работает для ODE. Кто-нибудь может это подтвердить?

— astrojuanlu

С методами высокого порядка может быть трудно обеспечить стабильность метода, заполняя таким образом клетки-призраки. Тем не менее, эллиптические проблемы, как правило, более снисходительны из моего опыта, так что вы можете сойти с рук.

— Джереми Коздон

Лена, ты можешь отредактировать свой вопрос и добавить туда граничные условия, что гораздо лучше, чем оставлять их в комментариях.

— Дэвид Кетчесон

Ответы:

Возможно, вы захотите изучить методы конечных разностей суммирования по частям (SBP). Кен Маттссон проделал большую работу над этими методами. Хорошее место для начала здесь (постоянные коэффициенты) и здесь (переменные коэффициенты).

По сути, эти методы работают так, как будто они являются стандартными центральными методами внутри и переходят на односторонний у границы. Важной частью технологии SBP является то, что переход к одностороннему является таким, что устойчивость метода для задач, зависящих от времени, может быть доказана даже после включения граничных условий. (Это возможно потому, что сами операторы «определяют» норму, которая имитирует дискретную интеграцию по частям.)

Вы говорите, что смотрите на уравнение Пуассона, я не совсем уверен, как граничные условия стабильно включаются в операторы SBP и эллиптические уравнения. У меня есть коллега, который играл с ними из-за эллиптических проблем и, кажется, указывает, что на самом деле не имеет значения, что вы делаете.

— Джереми Коздон
источник

Существуют и другие трафареты, которые можно использовать для получения точности высокого порядка вблизи граничных точек. Ваш текущий трафарет имеет форму:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Но вы также можете использовать другой трафарет рядом с границей, например так:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

Аналогично, вы можете аппроксимировать значение на противоположной границе с помощью аналогичной формулы.

— Пол
источник

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

Как я могу получить коэффициенты?

— Лиона

Чтобы понять, как получить формулы конечных разностей, хорошим справочником является глава 1 книги Левека: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook . Это составляет ряд Тейлора и немного алгебры.

— Дэвид Кетчесон

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

пожалуйста, посмотрите мою документацию FDM, которую вы можете найти в Researchgate под моим именем Дэвид Эдвардс младший. если у вас есть вопросы, я был бы рад помочь.

Дэвид

— Дэвид
источник

Простое указание людям искать в другом месте не является полезным ответом. Как минимум, вы должны предоставить краткое изложение ответа здесь и предоставить ссылку на более подробную информацию. Кроме того, многие из нас не согласны с тем, как работает ResearchGate, и поэтому избегают всех взаимодействий с этим сайтом, что делает невозможным просмотр вашей статьи с помощью предложенного вами метода.

— Дуг Липински

Пожалуйста, измените свой ответ, включив в него краткое изложение того, что, по вашему мнению, необходимо для ответа на вопрос. Ответы должны быть относительно автономными; Направление читателя для поиска своей статьи не является самостоятельным и гораздо менее полезно, чем предоставление краткого изложения его содержания.

— Джефф Оксберри