Как я могу вычислить базис для матричной алгебры Ли с учетом конечного набора образующих?

Учитывая произвольный набор (числовые) квадратных комплексных матриц , Я заинтересован в вычислении алгебра Ли вещественной матрицы , порожденную , назовем его . То есть я хотел бы получить базис для где определяется рекурсивно как $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

для

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Этот расчет приходит в (квантовой) теории управления.

В настоящее время я использую метод, найденный здесь, который ищет только через повторяющиеся скобки Ли (то есть в форме ) и гарантированно прекратит работу. Однако мне интересно знать, есть ли другие (более быстрые) методы. Возможно, используя базы П. Холла? Возможно, рекурсивный алгоритм? В настоящее время мой язык по умолчанию - Matlab. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— Ян Хинкс
источник

Я предполагаю, что ваши оригинальные генераторы эрмитовы. Это правда? Если это так, я бы предположил, что первым шагом будет сравнение собственных пространств генераторов, поскольку коммутаторы отличны от нуля только тогда, когда собственные пространства различаются.

— Джек Поулсон

@JackPoulson Да, A получены от гамильтонианов, и поэтому являются косоэрмитовыми (не эрмитовыми, потому что они умножаются на i в уравнении Шредингера). Я не уверен, что понимаю, почему это будет хорошим первым шагом. Разве вычисление коммутаторов и проверка, не являются ли они ненулевыми, не будет быстрее, чем возиться с собственными пространствами?

— Ян Хинкс

Для одного уровня коммутаторов, вероятно, да. Но возникает комбинаторный взрыв, когда вы начинаете рассматривать несколько уровней коммутаторов. Я не знаю алгоритма, но обычно хорошей идеей является использование как можно большей структуры. Я бы тщательно подумал о том, знаете ли вы какие-либо другие свойства, которые также относятся к вашим генераторам.

— Джек Полсон

Эта ссылка описывает, как сделать это, используя базы П. Холла.

$A - p(A)$ $A$ $p$

— Эрик П.
источник

@EricP Спасибо за ссылку, очень полезно. Я видел базисы П. Холла только в контексте свободных алгебр Ли, которые я не совсем понимаю, и я рад узнать, что моя интуиция о том, как просто избавиться от линейно зависимых коммутаций, была правильной. Я очень беспокоюсь о точности чисел. Вы имеете в виду, что я должен скорее сравнивать норму p (A) с нормой A? И что это будет более стабильным, чем сравнение нормы Ap (A) с 0?

— Ян Хинкс

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$