Метод конечных элементов против расширенного метода конечных элементов (FEM против XFEM)

Каковы основные различия между FEM и XFEM? Когда мы должны (не) использовать XFEM intead FEM и наоборот? Другими словами, когда я сталкиваюсь с новой проблемой, как я могу узнать, какую из них использовать?

Метод конечных элементов (FEM) является родительским методом, который вдохновил многих, многих других методов и методов, которые на самом деле являются FEM, но притворяются, что это не так.

В методе конечных элементов «функции формы» используются для обеспечения пространства аппроксимации, так что решение может быть представлено вектором. В классической FEM эти функции формы являются полиномами.

В расширенном методе конечных элементов (XFEM) дополнительные функции «обогащения» используются для аппроксимации решения в дополнение к полиномиальным функциям формы. Эти функции обогащения выбраны так, чтобы иметь свойства, которым, как известно, должно следовать решение.

Наиболее очевидными функциями обогащения XFEM являются степенные функции, введенные на острых углах трещин для представления особенностей градиента решения (т. Е. Особенности напряжения в задачах механики твердого тела). XFEM может использоваться для других функций обогащения и других областей решения (в частности, теплопередачи), но название синонимично с анализом разрушения.

Различие между различными методами - это XFEM или нет? И т. Д. - является хитрым, тонким и неважным.

Что касается использования, XFEM видит очень мало практического использования. Существует несколько приложений в реальных кодах конечных элементов, особенно Abaqus, но они не получили широкого распространения.

Практически для всех практических задач будет использоваться классический FEM. Для большинства задач анализа разрушения классическая FEM все еще может использоваться с подходящим уточнением сетки и / или p-уточнением в области вершины трещины. Другие, менее строгие модели разрушения также могут быть использованы.

Оба Майка ответ и Джед один хорошо описывают дихотомии XFEM / FEM и правильно указать, что наиболее важная область применения 3D - механика разрушения, где у вас есть трещины, то есть смещение разрыв через поверхность внутри домена.

Трещины трудно моделировать в классической FEM по двум причинам:

1. Сетка должна быть конгруэнтной по всей трещине: точнее, трещина должна находиться на границе подобласти FE. Трещина не может лежать внутри (проходить) конечного элемента.

2. Поле особых напряжений на вершине трещины требует, чтобы с хорошей точностью моделировались специальные элементы и / или методы зацепления (четвертьконечные элементы, сфокусированная сетка).

С инженерной точки зрения в механике разрушения у вас есть два основных типа проблем:

1. Расчет коэффициента интенсивности напряжений ,

2. анализ распространения трещин, например, при анализе усталости или устойчивости к повреждениям.

Для первого типа задачи классической МКЭ является более адекватным и стандартным инструмент разработки. (Это потому, что, к счастью, существуют энергетические методы для оценки факторов интенсивности напряжений, которые не чувствительны к числовым ошибкам вблизи вершины трещины.)

Анализ распространения трещин - это совсем другая история: в большинстве случаев вы заранее не знаете пути взлома, поэтому необходимо частое повторное смешивание. Главное обещание XFEM состоит в том, чтобы обеспечить распространение трещин внутри фиксированной сетки FEM, причем трещины проникают не только на границу между поддоменами, но и внутри самих FE.

XFEM - это относительно новая методика, все еще далекая от стандартного инженерного инструмента. Мой ответ на вопрос OP, по крайней мере в механике твердого тела и инженерном анализе, состоит в том, что XFEM имеет очень узкую и специализированную область применения для анализа трещин и распространения повреждений, для сложных трехмерных геометрий, когда путь трещины не может быть оценен априори .

Тем не менее позвольте мне подчеркнуть, что механика разрушения является очень важной областью в машиностроении: например, современные самолеты безопасны еще и потому, что можно численно прогнозировать повреждения и распространение трещин между интервалами технического обслуживания. XFEM или аналогичные новые методы должны стать важными инструментами в ближайшем будущем.

FEM является подмножеством XFEM. XFEM - это методология обогащения пространств конечных элементов для решения проблем с разрывами (например, разрушения). В классическом FEM для достижения аналогичной точности обычно требуется сложное конформное построение сетки и адаптивное уточнение, когда, как XFEM делает это с одной сеткой, перемещая эту геометрическую сложность в элементы (XFEM очень сложно реализовать, особенно в 3D). Между тем, XFEM приводит к крайне плохо обусловленным матрицам, которые требуют либо прямых решателей, либо очень специализированных многосеточных методов (например, Gerstenberger and Tuminaro (2012) ).