Как вейвлеты могут быть применены к PDE?

Я хотел бы узнать, как вейвлет-методы можно применять к PDE, но, к сожалению, я не знаю хорошего ресурса, чтобы узнать об этой теме.

Кажется, что многие введения в вейвлеты фокусируются на теории интерполяции, например, на сборке сигнала путем наложения предпочтительно нескольких вейвлетов. Иногда упоминаются приложения для PDE, не углубляясь в эту тему. Я заинтересован в хороших сводных статьях для людей, которые видели WFT, но не имеют больше знаний по этой теме. Хорошее резюме было бы интересно, конечно, если вы думаете, что это можно сделать.

Я особенно заинтересован в том, чтобы составить впечатление, какие вопросы обычно возникают. Например, я знаю, что конечные элементы, как правило, применяются к PDE в ограниченной области с границей Липшица, которые являются типичными вопросами при выборе пространства анзаца (согласующий, несоответствующий, геометрия и комбинаторика), как устанавливается теория сходимости ( на самом деле теория Галеркина не должна быть такой разной для вейвлетов), и у меня есть некоторая интуиция, какие математические вещи осуществимы в реализациях. Такой взгляд с высоты птичьего полета на Wavelets для PDE был бы очень полезен для меня.

Вейвлеты обладают хорошими свойствами аппроксимации в нескольких разрешениях, но не особенно популярны для решения PDE. Наиболее часто упоминаемыми причинами являются сложность наложения граничных условий, обработка не выровненной анизотропии, оценка нелинейных условий и эффективность.

Вейвлеты были первыми, кто получил результаты сильной конвергенции для полностью адаптивных методов (см. Cohen, Dahmen и DeVore 2001 и 2002 ). Однако за этой важной теорией быстро последовали Бинев, Дахмен и ДеВор (2004), которые доказали аналогичный результат для адаптивных методов конечных элементов, которые более популярны для традиционных задач ОДВ в умеренных измерениях. Базисы вейвлетов популярны для задач более высокой размерности, таких как методы разреженных тензоров для стохастических уравнений в частных производных Schwab и Gittelson (2011), и это обсуждение .

Дифференциальные операторы имеют ограниченное число условий, когда они выражены в вейвлет-базисах и предварительно обусловлены Якоби (таким образом, методы Крылова сходятся за постоянное число итераций, не зависящих от разрешения). Это связано с иерархическими многосеточными методами Yserentant (1984), Bank, Dupont, Yserentant (1988) и других. Обратите внимание, что мультипликативные многосеточные методы обладают превосходными свойствами сходимости по сравнению с аддитивными методами. Стандартный многосеточный V-цикл по существу эквивалентен стандартному симметричному Гауссу-Зейделю в вейвлет-базисе с обычным упорядочением. Обратите внимание, что это редко лучший способ реализации, особенно параллельно.

Операторы Каледерона-Зигмунда и псевдодифференциальные операторы редки в вейвлет-базах. Таким образом, многие проблемы, для которых -матрицы полезны с компактными базисами, могут быть изящно решены с помощью вейвлет-базисов.$\mathcal H$

Дифференциальные операторы относительно дороже оценивать в вейвлет-базах, и может быть трудно установить требуемые свойства сохранения. Некоторые авторы (например, Васильев, Паолуччи и Сен 1995) прибегают к методам коллокации и используют трафареты с конечными разностями для оценки производных и нелинейных членов. Если вейвлет-расширение блокируется (как правило, хорошо для вычислительной эффективности), эти методы становятся очень похожими на AMR с блочной структурой.

Я предлагаю Beylkin and Keizer (1997) как практическое введение в решение PDE с помощью вейвлетов. Код MADNESS основан на этих методах. Он поддерживает погруженные границы (см. Reuter, Hill и Harrison 2011 ), но не имеет эффективного способа представления пограничных слоев в сложной геометрии. Программное обеспечение часто используется для задач химии, в которых геометрия не имеет значения.

Для общего численного анализа вейвлетов я предлагаю книгу Коэна 2003 года . В нем представлена ​​структура анализа, в которой решение континуума манипулируется до тех пор, пока вы не захотите оценить его с заданной точностью, после чего вейвлет-базис оценивается по мере необходимости.