У меня есть очень базовое представление об интервальной арифметике (IA), но она кажется очень интересной отраслью вычислительной науки как теоретически, так и практически. Понятно, что очевидными приложениями являются проверенные вычислительные и некорректные задачи, но это слишком абстрактно. Поскольку в прикладных вычислениях много людей, мне любопытно узнать о реальных проблемах, которые трудно или невозможно решить без ИА .
Ответы:
Этот ответ частично отвечает на комментарий Джекпулсона (потому что он длинный), а частично отвечает на вопрос.
Интервальная арифметика является вычислительной процедурой, которая дает строгие границы для вычисляемых величин, только в том смысле, что расширение интервала действительной функции по интервалу охватывает изображение этой функции по тому же интервалу. Ничего не вычисляя, интервальная арифметика не может дать вам никакого представления о том, какие факторы влияют на числовую ошибку в вычислениях, тогда как теоремы в книге Хайама и других действительно дают вам понимание факторов, влияющих на числовую ошибку, за счет потенциально слабых границ. Конечно, оценки, полученные с использованием интервальной арифметики, также могут быть слабыми из-за так называемой проблемы зависимостей , но иногда они намного сильнее. Например, интервальные границы, полученные с использованием пакета интеграции COSY Infinityнамного более жесткие, чем типы погрешностей, которые вы получили бы при численном интегрировании по результатам Dahlquist (подробности см. в Hairer, Wanner и Nørsett ); Эти результаты (в частности, я имею в виду теоремы 10.2 и 10.6 в части I) дают более глубокое понимание источников ошибок, но границы являются слабыми, тогда как границы, использующие COSY, могут быть жесткими. (Они используют несколько приемов для смягчения проблем с зависимостями.)
Я не решаюсь использовать слово «доказательство» при описании того, что делает интервальная арифметика. Существуют доказательства, включающие интервальную арифметику, но вычисление результатов с использованием интервальной арифметики с округлением наружу на самом деле является лишь средством бухгалтерского учета для консервативного ограничения диапазона функции. Интервальные арифметические вычисления не являются доказательствами; они способ распространения неопределенности.
Что касается приложений, в дополнение к работе Штадтерра в области химического машиностроения интервальная арифметика также использовалась для расчета границ для экспериментов с пучками частиц (см. Работу Макино и Берца, связанную с веб-сайтом COSY Infinity), они были используется в приложениях для глобальной оптимизации и проектирования химической инженерии (среди прочих) Бартоном (ссылка на список публикаций), для проектирования космических аппаратов и глобальной оптимизации (среди прочих) в Neumaier (опять же, ссылка на список публикаций) ), глобальная оптимизация и решатели нелинейных уравнений Kearfott (еще один список публикаций), а также для количественной оценки неопределенности (различные источники; Barton является одним из них).
Наконец, отказ от ответственности: Бартон - один из моих советников по диссертации.
Интервальная арифметика дает доказательство с математической строгостью.
Хорошие примеры реальных приложений - работа Марка Штадтерра и его исследовательской группы. В частности, расчеты фазового равновесия и устойчивости успешно решаются интервальными методами.
Хорошая коллекция тестов, со ссылкой на их физическое состояние, находится на веб-сайте ALIAS .
Другая особенность интервальной арифметики и ее обобщений заключается в том, что она позволяет адаптивно исследовать область функции. Таким образом, его можно использовать для адаптивного геометрического моделирования, обработки и рендеринга, просто чтобы взять примеры из компьютерной графики.
Интервальные методы были использованы в некоторых недавних доказательствах сложных математических теорем, таких как существование хаоса в аттракторе Лоренца и гипотеза Кеплера. См. Http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdf для этих и других приложений.
Интервальная арифметика очень полезна для геометрических алгоритмов. Такие геометрические алгоритмы принимают в качестве входных данных набор геометрических объектов (например, набор точек) и создают комбинаторную структуру данных (например, триангуляцию) на основе пространственных отношений между точками. Эти алгоритмы зависят от небольшого числа функций, называемых «предикатами», которые принимают в качестве входных данных фиксированное количество геометрических объектов и возвращают дискретное значение (обычно одно из «выше, выровнено, ниже»). Такие предикаты обычно соответствуют знаку определителя координат точки.
Использование стандартных чисел с плавающей запятой недостаточно, так как может не получиться точно вычислить знак определителя и, что еще хуже, вернуть некогерентные результаты (т. Е. Сказать, что A выше B, а B выше A, что заставляет алгоритм создать беспорядок вместо сетки!). Систематическое использование мультиточности (например, в библиотеке Gnu Multi-Precision и ее расширении MPFR для чисел с плавающей точкой с множественной точностью) работает, но приводит к значительному снижению производительности. Когда геометрический предикат является признаком чего-либо (как в большинстве случаев), использование интервальной арифметики позволяет выполнять более быстрые вычисления, а затем запускать только более обширные вычисления с высокой точностью, только если в интервале находится ноль.
Такой подход используется в нескольких больших кодах вычислительной геометрии (например, CGAL).