Прерывистый Галеркин: узловые и модальные преимущества и недостатки

Существует два основных подхода к представлению решений в методе прерывистого галеркина: узловой и модальный.

1. Модальные : Решения представлены суммами модальных коэффициентов, умноженных на набор полиномов, например, где - это обычно ортогональные полиномы Например, Legendre. Одним из преимуществ этого является то, что ортогональные многочлены порождают матрицу диагональной массы.ϕ $u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Узел : Ячейки состоят из нескольких узлов, на которых определяется решение. Реконструкция ячейки затем основывается на подборе интерполяционного полинома, например, где - полином Лагранжа. Одним из преимуществ этого является то, что вы можете расположить свои узлы в квадратурных точках и быстро оценить интегралы.l $u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

В контексте крупномасштабного, сложного ( - DOF) трехмерного смешанного структурированного / неструктурированного параллельного приложения с целями гибкости, ясности реализации и эффективности, каковы сравнительные преимущества и недостатки каждого метода?10 $10^6$$10^9$

Я уверен, что там уже есть хорошая литература, так что если бы кто-то мог указать мне на что-то, что было бы также замечательно.

Приведенные ниже компромиссы в равной степени относятся и к DG, и к спектральным элементам (или конечным элементам версии).$p$

Изменение порядка элемента, как в -адаптивности, проще для модальных баз, потому что существующие функции баз не меняются. Как правило, это не имеет отношения к производительности, но некоторым людям это все равно нравится. Модальные базы также могут быть отфильтрованы напрямую для некоторых методов сглаживания, но это также не является узким местом производительности. Модальные базы также могут быть выбраны для демонстрации разреженности внутри элемента для специальных операторов (обычно это матрицы Лапласа и массы). Это не относится к переменным коэффициентам или неаффинным элементам, и экономия невелика для скромного порядка, обычно используемого в 3D.$p$

Узловые основы упростить определение непрерывности элемента, упрощение реализации граничных условий, контакт и т.п., легче сюжет, и привести к более$h$-эллиптичность в дискретизированных операторах (что позволяет использовать менее дорогие сглаживатели / прекондиционеры). Также проще определить понятия, которые используются решающими программами, такие как режимы твердого тела (просто используйте узловые координаты), и определить некоторые операторы переноса сетки, которые возникают в многосеточных методах. Встроенные дискретизации также легко доступны для предварительной обработки без необходимости изменения базы. Узловые дискретизации могут эффективно использовать коллокационную квадратуру (как в случае методов спектральных элементов), и соответствующая недостаточная интеграция может быть полезна для сохранения энергии. Межэлементная связь для уравнений первого порядка является более разреженной для узловых баз, хотя в противном случае модальные базы часто модифицируются для получения такой же разреженности.

Мне было любопытно увидеть некоторые ответы на этот вопрос, но почему-то никто не удосужился ответить ...

Что касается литературы, мне очень нравится книга Spectral / hp Element Methods для вычислительной гидродинамики (теперь есть и более дешевая версия в мягкой обложке), а также книга Hesthaven and Warburton . Эти два вопроса достаточно подробно описывают методы, которые помогут вам реализовать методы. Книга Canuto, Hussaini, Quarteroni и Zang является более теоретической. В этом также есть второй том «Спектральные методы: эволюция к сложной геометрии и приложения к гидродинамике».

Я не работаю над методами DG, и я не эксперт, чтобы судить о преимуществах узловых и модальных. Книга Karniadakis & Sherwin больше сосредоточена на методах с непрерывными модальными расширениями. В этом методе вы обязаны переупорядочивать режимы в двух соседних элементах таким образом, чтобы соответствующие режимы на интерфейсе совпадали, чтобы сохранить непрерывность глобального расширения. Кроме того, наложение граничных условий требует дополнительного внимания, поскольку ваши моды не связаны с определенным местоположением на границе.

Я надеюсь, что кто-то знакомый с этим типом методов добавит больше деталей.