Имитация гамильтоновой эволюции

11

Я пытаюсь понять, как моделировать эволюцию кубитов при взаимодействии гамильтонианов с терминами, записанными как тензорное произведение матриц Паули в квантовом компьютере. Я нашел следующий трюк в книге Нильсена и Чуанга, который объясняется в этом посте для гамильтониана вида

ЧАС знак равно Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes,,, \otimes Z_{N}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ .

Но подробно не объясняется, как будет работать моделирование для гамильтониана с членами, включающими матрицы Паули илиЯ понимаю, что вы можете преобразовать эти Паули в Z, считая, что где - ворота Адамара, а также где - ворота фазы . Как именно я должен использовать это для реализации, например, $X$ $Y$ $HZH = X$ $H$ $S^{\dagger}HZHS =Y$ $S$ $i$

ЧАС знак равно Икс \otimes Y

$H= X \otimes Y$

Что если теперь гамильтониан содержит сумму слагаемых с матрицами Паули? Например

ЧАС знак равно {Икс}_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— Pam
источник

3

Допустим, у вас есть гамильтониан вида

ЧАС знак равно σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes ... \otimes σ_{N}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$ Существует прямолинейная конструкция схемы, которая позволяет реализовать эволюцию во времени

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ . Хитрость заключается в основном разлагаться состояние , что вы складывающуюся в компоненты , которые находятся в

\pm 1

$\pm 1$ собственные подпространства

H

$H$ . Затем вы применяете фазу

e^{- i t}

$e^{-it}$ к собственному пространству

+ 1

$+1$ , а фазу

e^{- i t}

$e^{-it}$ к

- 1

$-1$ собственное пространство. Следующая схема делает эту работу (и вычисляет разложение в конце).

Я предполагаю, что элемент фазового затвора в середине применяет унитарный

(\begin{array}{cc} е^{я T} & 0 \\ 0 & е^{- я T} \end{array}),

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

В общем, если вы хотите развить некоторый гамильтониан $H=H_1+H_2$ где $H_1$ и $H_2$ имеют предыдущую форму, то, безусловно, проще всего разложить эволюцию как

е^{- я ЧАС T} \approx {(е^{- я {ЧАС}_{1} T / M} е^{- я {ЧАС}_{2} T / M})}^{M}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$ для некоторого большого

M

$M$ (хотя существуют алгоритмы с гораздо лучшим поведением масштабирования), и каждый из этих небольших шагов

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$ может быть реализовано с предыдущей схемой.

Тем не менее, иногда есть умные вещи, которые вы можете сделать. Ваш дополнительный пример,

ЧАС знак равно Икс \otimes Y \otimes я + Z \otimes я \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$ является одним из таких случаев. Я бы начал с применения унитарного вращения

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ к кубитам 2 и 3. Это эквивалентно к воротам Адамар, но преобразует

Y

$Y$ в

Z

$Z$ вместо

X

$X$ . Теперь остановитесь на минуту и подумайте. Если кубиты 2 и 3 находятся в 00, то мы применяем

(X + Z)

$(X+Z)$ к кубиту 1. Для 01 это

(X - Z)

$(X-Z)$ , для 10 это

(Z - X)

$(Z-X)$ , а для 11 это

- (X + Z)

$-(X+Z)$ . Далее, давайте применим контролируемый, а не из кубита 2 к кубиту 3. Это просто немного переставляет базовые элементы. Теперь говорится, что мы должны применить гамильтониан

(- 1)^{{Икс}_{2}} (Икс + (- 1)^{{Икс}_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$ в состояние кубита 1, если кубиты 2 и 3 находятся в состояниях

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$ . Далее, помните, что

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$ (Адамар, а не гамильтониан), и что

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$ . Таким образом, это дает нам простой способ для преобразования между двумя битами гамильтониана. Мы просто заменим эти два

X

$X$ на управляемые не-узлы, управляемые кубитом 3. Точно так же мы можем использовать идентификатор схемы,

где на этот раз мы заменим

X

$X$ ы управляемыми не-узлами, управляемыми из кубита 2.

В целом, я полагаю, что симуляция выглядит так, как будто она может показаться сложной, но в ней нет разделения на маленькие временные шаги, которые накапливают ошибки по мере продвижения. Это не будет применяться очень часто, но стоит знать об этих возможностях.

— DaftWullie
источник

Что означает квадратный корень с точкой - ворота?

— Энрике Сегура

@EnriqueSegura точно такой же, как и тот, о котором вы только что спросили: фазовые затворы с маркированным углом поворота.

— DaftWullie

1

$H$ $H=UDU^\dagger$ $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ $\sigma_i \neq I$ $i$ $H$

ЧАС знак равно (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{N}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{N}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

Как результат:

е^{я T ЧАС} знак равно (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{N}^{'}) е^{я T Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{N}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

$e^{it Z\otimes Z}$

Если гамильтониан является суммой произведений Паули, то общего простого решения не существует, но вы можете использовать формулу произведения Ли, усеченную до некоторого большого числа слагаемых, чтобы свести ее к указанной выше проблеме.

— Джон
источник

0

$e^{-\Delta t H}$

— Джордж
источник