Аппроксимирующие унитарные матрицы

В настоящее время у меня есть 2 унитарные матрицы, которые я хочу аппроксимировать с хорошей точностью при меньшем количестве возможных квантовых элементов.

В моем случае две матрицы:

Квадратный корень НЕ ворот (до глобальной фазы) $G = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} i & 1 \\ 1 & i \end{matrix}) = e^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

Мой вопрос заключается в следующем:

Как я могу аппроксимировать эти конкретные матрицы с меньшим количеством возможных квантовых элементов и хорошей точностью?

То, что я хочу иметь, может позволить себе иметь это:

Я могу позволить себе использовать несколько дней / недель процессорного времени и много оперативной памяти.
Я могу позволить себе потратить 1 или 2 человеческих дня в поисках математических уловок (в крайнем случае, поэтому я спрашиваю здесь сначала). Это время не включает время, которое мне понадобится для реализации гипотетических алгоритмов, используемых для первого пункта.
Я хочу, чтобы разложение было почти точным. На данный момент у меня нет точности цели, но 2 схемы выше используются моей схемой, и я не хочу, чтобы ошибки накапливались слишком много.
Я хочу, чтобы при разложении использовалось как можно меньше квантовых элементов. Этот момент является второстепенным на данный момент.
Хороший метод позволил бы мне выбрать компромисс, который я хочу, между количеством квантовых вентилей и точностью приближения. Если это невозможно, вероятно, требуется точность не менее $10^{-6}$ (с точки зрения нормы следа) (как сказано выше, у меня нет оценок, поэтому я не уверен в этом пороге).
Набор ворот: ${ЧАС, Икс, Y, Z, р_{φ}, S, T, р_{Икс}, р_{Y}, р_{Z}, CX, ОБМЕН, iSWAP, \sqrt{ОБМЕН}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ с $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ как описано вВикипедии, $R_A$ - вращение относительно оси $A$ ( $A$ - это $X$ , $Y$ или $Z$ ) и $iSWAP знак равно (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & я & 0 \\ 0 & я & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

Методы, которые я знаю о:

Алгоритм Соловая-Китаева. У меня есть реализация этого алгоритма, и я уже тестировал его на нескольких унитарных матрицах. Алгоритм генерирует последовательности, которые являются достаточно длинными, и компромисс [количество квантовых вентилей] VS [точность приближения] недостаточно параметризуем. Тем не менее, я выполню алгоритм на этих воротах и отредактирую этот вопрос с результатами, которые я получил.
Две статьи об аппроксимации 1-кубитных гейтов и n-кубитовых гейтов . Мне также нужно проверить эти алгоритмы.

РЕДАКТИРОВАТЬ: отредактировал вопрос, чтобы сделать «квадратный корень не» более очевидным.

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Nelimee
источник

Есть ли у вас какие-то особые намерения и есть причина, по которой вы не можете реализовать

непосредственно / непосредственно на кубите?

G

$G$

— Mithrandir24601

Отредактированный, чтобы точно установить набор ворот, который я имел в виду :)

— Nelimee

Похоже, что W может быть сделано с правильным sqrt (SWAP) + одним CNOT + однобитными гейтами.

— Норберт Шух,

Мне интересно, что вы пытаетесь сделать с этим, если вы не возражаете против разработки.

— Псита

Эти два затвора появляются в квантовых цепях для моделирования очень простых гамильтонианов (1-разреженных гамильтонианов с только действительными или только мнимыми элементами). Тезис, который развивает это, довольно трудно получить. Единственный способ, который я нашел, - попросить копию здесь и дождаться ответа в своем почтовом ящике :)

— Nelimee

Вы выбрали две особенно простые матрицы для реализации.

Первая операция (G) - это просто квадратный корень из X gate (вплоть до глобальной фазы):

$R_X(\pi/2)$

Вторая операция (W) - это матрица Адамара в среднем блоке 2x2 матрицы, идентичной иначе. Каждый раз, когда вы видите этот паттерн 2х2 посередине, вы должны думать, что «контролируемая операция сопряжена CNOT». И это именно то, что работает здесь (примечание: вам может понадобиться поменять местами; зависит от вашего соглашения о порядке байтов):

Таким образом, единственная реальная проблема заключается в том, как реализовать управляемую операцию Адамара. Адамар - это поворот на 180 градусов вокруг оси X + Z. Вы можете использовать 45-градусное вращение вокруг оси Y, чтобы переместить ось X + Z к оси X, затем сделать CNOT вместо CH, а затем переместить ось назад:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— Крейг Гидни
источник

$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

Конструкция является оптимальной в том смысле, что она требует двух вентилей CNOT и не более 12 шлюзов с одним кубитом (для наиболее общего случая реальных двухбитовых вентилей). Конструкция основана на гомоморфизме:

S О (4) \approx S U (2) \times S U (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

W знак равно M U M^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

Используя эту конструкцию, полная реализация gate, предоставленная Vatan и Williams:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— Дэвид Бар Моше
источник

Ни один из этих ворот не требует приблизительных последовательностей. Вы можете реализовать их точно с вашими заданными наборами ворот без особых усилий.

$HSH$ .

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
источник