Общая конструкция

Два из наиболее известных запутанных состояний - это состояние GHZ и состояние с .$|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$$W_n$$W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$

Построение GHZ-состояния просто для произвольного . Однако реализовать состояние сложнее. Для это легко, а для мы можем использовать$n$$W_n$$n=2$$n=4$

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

Даже для у нас есть реализации, например , посмотрите этот ответ . Однако я не нашел алгоритм, который при заданном выводит схему для построения состояния.$n=3$$n$$W_n$

Существует ли такой алгоритм, определяемый одно- и двухкубитными гейтами? И если так, что это?

Да, есть несколько реализаций этого алгоритма в суперпозиции квантовых ката (задачи 14 и 15):

• Для вы можете использовать рекурсивный алгоритм: создать состояние W на первых кубитах, выделить вспомогательный кубит в состоянии , выполнить некоторые управляемые SWAP, чтобы установить состояние вторые кубита, а затем некоторые контролируемые НЕ для сброса вспомогательного элемента обратно в ( операция).$n = 2^k$$2^{k-1}$$|+\rangle$$2^{k-1}$$|0\rangle$WState_PowerOfTwo_Reference
• Для произвольного вы можете использовать рекурсивный алгоритм, как описано в DaftWullie ( операция).$n$WState_Arbitrary_Reference
• Есть также прием, который можно использовать для создания состояния для произвольного с использованием первого рекурсивного алгоритма. Выделите дополнительные кубиты, чтобы заполнить заданных единиц до , создать для них состояние и измерить дополнительные кубиты; если все кубиты имеют значение 0, состояние исходных кубитов равно , в противном случае сбросьте и повторите процесс ( операцию).$W_n$$n$$n$$2^k$$W_{2^k}$$W_n$WState_Arbitrary_Postselect

Это мое любимое задание в этом ката, потому что оно допускает так много разных подходов.

Концептуально простейший способ получения состояния W в некоторой степени аналогичен классическому отбору проб из пласта , поскольку включает ряд локальных операций, которые в конечном итоге создают однородный эффект.

По сути, вы смотрите на каждый кубит по очереди и рассматриваете «сколько амплитуды у меня осталось в состоянии« все 0 »и сколько я хочу перевести в состояние« только этот кубит включен »?». Оказывается, семейство вращений, которое вам нужно, это то, что я назову «воротами шансов», которые имеют следующую матрицу:

$$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$$

Используя эти ворота, вы можете получить состояние W с последовательностью все более контролируемых операций:

Эта схема несколько неэффективна. Он имеет стоимость где - это число кубитов, а - требуемая абсолютная точность (поскольку в контексте с исправленными ошибками вентили шансов не являются родными и должны быть аппроксимированы).$O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$$N$$\epsilon$

Мы можем повысить эффективность, перейдя от стратегии «переход от того, что осталось позади» к стратегии «переход от того, что путешествует». Это добавляет зачистку в конце, но требует только одного элемента управления для каждой операции. Это снижает стоимость до :$O(N \lg(1/\epsilon))$

Это все еще возможно сделать лучше, но это начинает усложняться. По сути, вы можете использовать один частичный шаг Гровера, чтобы получить амплитуд, равных но они будут закодированы в двоичный регистр (мы хотим, чтобы регистр с одним битом был установлен с одним битом). Исправление этого требует бинарно-унарной схемы преобразования. Инструменты, необходимые для этого, описаны в разделе «Кодирование электронных спектров в квантовых цепях с линейной T-сложностью» ). Вот соответствующие цифры.$N$$\sqrt{1/N}$

Частичный шаг гровера:

Как выполнить индексированную операцию (ну ... вроде. У ближайшей фигуры был аккумулятор, который не совсем подходит для этого случая):

Использование этого более сложного подхода снижает стоимость от до .$O(N \lg(1/\epsilon))$$O(N + \lg(1/\epsilon))$

Вы можете определить последовательность рекурсивно. Концептуально, что вы хотите сделать, это:

• Создать начальное состояние$|0\rangle^{\otimes N}$

• На кубите 1 примените вентиль

  $$\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$$

• Управляемый с кубита 1, примените «make » к кубитам 2 к (т.е. сделайте это, если кубит 1 находится в состоянии , в противном случае ничего не делайте)$|W_{N-1}\rangle$$N$$|1\rangle$

• Примените перевернутые ворота на кубите 1.

Этот алгоритм, как выражено, состоит не только из одно- и двухкубитных вентилей, но он, безусловно, может быть разбит как таковой стандартными конструкциями универсальности.

Кроме того, это может быть не самый эффективный алгоритм, который вы могли бы придумать. Например, если , вы можете использовать только слоев квадратного корня из своп-вентилей, чтобы получить то, что вы хотите - начать с на одном кубите. Поменяйте местами второй кубит, и вы получите (вплоть до фаз, которые вам понадобятся). Поместите ancilla рядом с ними обоими, и выполните корневые перестановки между парами W-ancilla, и вы получите , повторите, и вы получите , и так далее. Я считаю, что это в основном то, что они делают здесь экспериментально . Вы должны иметь возможность включить этот алгоритм в первый, чтобы сделать его более эффективным ($N=2^n$$n$$|1\rangle$$|W_2\rangle$$|W_4\rangle$$|W_8\rangle$O ( журнал N ) $O(\log N)$ ) для любого произвольного размера, но я никогда не переставал прорабатывать детали с большой осторожностью.