Значение операций Клиффорда с точки зрения квантовой коррекции ошибок

В литературе по QECC Клифтфордские ворота занимают повышенный статус.

Рассмотрим следующие примеры, которые подтверждают это:

• Когда вы изучаете коды стабилизатора, вы отдельно изучаете, как выполнять кодированные ворота Клиффорда (даже если они не применяются трансверсально). Все вводные материалы по QECC подчеркивают выполнение кодированных операций Клиффорда над квантовыми кодами. И в остальном акцентируйте внимание на воротах Клиффорда (то есть, даже если не выполняете закодированные ворота Клиффорда в квантовых кодах).

• Вся тема магического состояния дистилляции * основана на классификации определенных операций (в том числе производительности ворот Клиффорда) как недорогих операций, в то время как, например, выполнение ворот или $\pi/8$Ворота, как и более дорогостоящие операции.

Возможные ответы:

1. Это было оправдано в некоторых местах в литературе, например, докторская диссертация Готтесмана и многие его работы, а также в https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 . Причина, приведенная в этих местах, заключается в том, что на некоторых кодах стабилизатора можно выполнять некоторые ворота Клиффорда (прототип отказоустойчивой операции). С другой стороны, нелегко найти трансверсальное применение не Клиффордских ворот на квантовых кодах. Я сам не проверял это, но просто придерживаюсь утверждений, которые Готтесман делает в своей докторской диссертации. диссертация и некоторые обзорные статьи.

Неспособность выполнить закодированный шлюз трансверсально на квантовом коде немедленно увеличивает стоимость выполнения указанного строба на коде. И, следовательно, исполнение ворот Клиффорда переходит в категорию дешевых, а ворота без Клиффорда - в категорию дорогих.

2. С инженерной точки зрения важно принять решение о стандартизированном списке основных единиц квантовых вычислений (подготовка состояний, логические элементы, наблюдаемые измерения / основа) и т. Д. Выполнение вентилей Клиффорда делает удобный выбор в этом списке по нескольким причинам. (Наиболее известные наборы универсальных квантовых вентилей включают в себя множество вентилей Клиффорда, теорему Готтсмана-Найла ** и т. д.).

Это единственные две причины, по которым я мог придумать, почему группа Клиффорда имеет такой высокий статус в исследовании QECC (особенно, когда вы изучаете коды стабилизатора). Обе причины вытекают из инженерной точки зрения.

Таким образом, вопрос в том, можно ли определить другие причины, которые не связаны с инженерной точки зрения? Есть ли какая-то другая важная роль, которую играют ворота Клиффорда, которую я упустил?

Возможная другая причина: я знаю, что группа Клиффорда является нормализатором группы Паули в Унитарной группе (на $n$системы кубитов). Кроме того, он имеет полупрямую структуру продукта (фактически проективное представление полупрямой группы продуктов). Являются ли эти отношения / свойства сами по себе еще одной причиной, по которой следует изучать группу Клиффорда в сочетании со кодами Стабилизатора?

* Не стесняйтесь исправить это. ** В котором говорится, что ограничено определенными операциями, вы не можете получить квантовое преимущество, и, следовательно, вам нужно немного больше, чем набор операций, которыми вы изначально ограничивали себя.

Операции Клиффорда часто легко выполнять отказоустойчиво в кодах стабилизатора, либо трансверсально, либо путем деформации кода. Причина именно в том, что вы думали: особые отношения между этими воротами и Паулисом, поскольку последние используются для определения кодов стабилизатора.

Можно получить не-Клиффордские ворота в кодах, но цена должна быть заплачена. В частности, существует связь между геометрической локализацией кодов и воротами, которые они могут выполнять трансверсально. Поэтому, если вам разрешено делать только ворота, управляемые ближайшим соседом, на двумерной решетке (такой как поверхность или цветовой код), то будут возможны только клиффорды. Смотрите статьи, как эта, чтобы узнать больше об этом.

Тот факт, что мы можем ожидать отказоустойчивого Клиффорда от кодов стабилизатора, впоследствии был положен в основу методов синтеза универсальных наборов гейтов. Так что, если есть способ создать нестабилизированное закодированное состояние без отказоустойчивости, мы знаем, как его очистить, используя наш логический Клиффорд. Чтобы превратить эти состояния в вращения, мы используем наши логические клиффорды. Поэтому, если у вас есть код и вы хотите применить все эти готовые результаты, вам лучше найти отказоустойчивые Cliffords. Или, по крайней мере, Paulis, H и CZ или CNOT, если вы не можете управлять ими всеми.