Квантовые состояния являются единичными векторами ... по отношению к какой норме?

15

Наиболее общее определение квантового состояния, которое я нашел, это (перефразируя определение из Википедии )

Квантовые состояния представлены лучом в конечном или бесконечномерном гильбертовом пространстве над комплексными числами.

Более того, мы знаем, что для того, чтобы получить полезное представление, нам нужно убедиться, что вектор, представляющий квантовое состояние, является единичным вектором .

Но в приведенном выше определении они не уточняют норму (или скалярное произведение), связанную с рассматриваемым гильбертовым пространством. На первый взгляд я подумал, что норма на самом деле не важна, но вчера я понял, что норма везде была выбрана как евклидова норма (2-норма). Даже бюстгальтер-кет обозначения , кажется, сделаны специально для евклидовой нормы.

Мой вопрос: почему евклидова норма используется везде? Почему бы не использовать другую норму? Имеет ли евклидова норма полезные свойства, которые могут быть использованы в квантовой механике, чего нет у других?

— Nelimee
источник

2

На самом деле я просто хотел добавить комментарий, но у меня нет репутации: обратите внимание, что, как вы пишете в своем вопросе, квантовые состояния - это лучи в гильбертовом пространстве. Это означает, что они не нормированы, а скорее что все векторы в гильбертовом пространстве, которые указывают в одном и том же направлении, эквивалентны. Работать с нормализованными состояниями удобнее, но физика скрыта в перекрытии состояний друг с другом. Именно по этой причине в определении государства нет нормы.

— Омри Хар-Шемеш

6

Правило Борна гласит, что - вероятность нахождения квантовой системы в состоянии после измерения. Нам нужна сумма (или интеграл!) По всем чтобы быть 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Ни одна из этих норм не является действительной, поскольку они не являются однородными . Вы можете сделать их однородными, просто сделав квадратный корень:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

и вы можете распознать это как евклидову норму и обобщение евклидовой нормы в недискретную область. Мы также могли бы использовать другую норму:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

для некоторой положительно определенной матрицы / функции А.

Однако -норме с не будет столь же полезнопотому что, например: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

не должен быть 1.

Таким образом, евклидова норма является особенной, потому что 2 - это сила в правиле Борна, которое является одним из постулатов квантовой механики.

— user1271772
источник

Этот ответ связан с моим комментарием к @ DaftWullie . Таким образом, евклидова норма используется, потому что постулат измерения говорит нам, что это единственная

норма, которая действительна?

p

$p$

— Нелиме

2

Это единственная p-норма, которая имеет смысл. Мы хотим, чтобы сумма вероятностей была равна 1 (что является законом математики), а вероятности определяются квадратом волновой функции (которая представляет собой постулат квантовой механики, называемый правилом Борна).

— user1271772

@Nelimee: Спасибо за ваше сообщение в чате. Я не могу ответить, потому что мне запрещено общаться в чате еще 2 дня. Причиной первого ответа было то, что я прочитал ваши вопросы: «Почему евклидова норма используется везде? Почему не используется другая норма?» и немедленно рассмотрел случай, когда действительной нормой является не евклидова норма, а другая 2-норма, которая является 2-нормой на недискретном множестве переменных. Я думал, что этого было достаточно, чтобы объяснить, что евклидова норма не единственная действительная норма, и почему евклидова норма используется, когда она есть. Но когда я заметил, что daftwullie получил upvote, а я нет, я

— user1271772

2

так что ваш ответ "из-за правила Борна"? Разве это не переносит вопрос на «почему правило Борна использует степень 2?»?

— DaftWullie

1

Похоже на то, "что было первым: курица или яйцо?" кейс.

— user1271772

8

Некоторая терминология здесь немного перемешана. Квантовые состояния представлены (в конечномерном гильбертовом пространстве) комплексными векторами длины 1, где длина измеряется евклидовой нормой. Они не являются унитарными, потому что унитарная - это классификация матрицы, а не вектора.

Квантовые состояния изменяются / развиваются согласно некоторой матрице. Учитывая, что квантовые состояния имеют длину 1, оказывается необходимым и достаточным, чтобы отображения чистых состояний в чистые состояния описывались унитарными матрицами. Это единственные матрицы, которые сохраняют (евклидову) норму.

Это, безусловно, правильный вопрос: «Можем ли мы использовать другую ( ) норму для наших квантовых состояний?» Если затем вы классифицируете операции, которые отображают нормализованные состояния в нормализованные состояния, они невероятно ограничены. Если , единственными допустимыми операциями являются матрицы перестановок (с разными фазами на каждом элементе). Физика была бы намного скучнее. $p$ $p\neq 2$

Хороший способ почувствовать это - попробовать нарисовать двумерный набор осей. Нарисуйте на нем фигуры, соответствующие множеству точек длины 1 под разными нормами. дает вам круг, дает вам ромб, а дает квадрат. Какие операции вы можете сделать, чтобы отобразить фигуру на себя? Для круга это любое вращение. Для всего остального это просто повороты, кратные . Следующее происходит из Википедии: $p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Если вы хотите больше деталей, вы можете посмотреть здесь .

— DaftWullie
источник

Спасибо за точность терминологии! Вы правы, я неправильно использовал условия.

— Нелими

Однако вопрос в порядке, если заменить «унитарный» на «единичный вектор»

— user1271772

Но этот ответ не отвечает, почему мы используем евклидову норму. Я понял, что другие нормы не удобны, но мы не можем контролировать, что «удобно» в законах физики, а что нет, не так ли?

— Нелиме

@Nelimee Это не неудобно. Дело в том, что многие операции не существуют, если вы не используете 2-норму. Такие операции, как квадратный корень из not, который мы можем выполнить, провести эксперимент и наблюдать. Так что это исключает все, кроме 2-нормы

— DaftWullie

1

как со всей физикой! Все теории таковы, теории, которые наилучшим образом соответствуют имеющимся данным.

— DaftWullie

5

$\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

— Федерико Полони
источник

Я проголосовал за ваш ответ (который является отличным первым ответом на QCSE!), Но должен ли он быть 2-нормой? Вы говорите, что 1-норма и 3-норма недействительны, но как насчет нормы в моем ответе, которая является квадратом 2-нормы?

— user1271772

3

@ user1271772 Спасибо! Если я правильно понимаю, предложенная вами функция даже не является векторной нормой, потому что она не однородна.

— Федерико Полони,

2

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

он положительно однороден с , почему он должен быть с ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

— user1271772

k = 1

$k=1$

4

$\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Оказывается, есть в основном только три варианта:

$(0,1,0,0,0)$ $L$
$1$ $v_i$
$2$ $v_i$

Это единственные возможности. Для других норм никаких интересных преобразований не существует.

Если вам нужно более подробное и приятное объяснение этого, в книге «Квантовые вычисления со времен Демокрита» Скотта Аарсонса есть лекция по этому вопросу , а также статья .

— Норберт Шух
источник

2

$p=2$ $L^p$

$M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

$L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

В некоторых случаях полезно не переходить на стандартную форму. Это перемешивает, как вы делаете некоторые вычисления. Например, если вы вводите числовые значения, вы можете уменьшить количество ошибок за счет такого рода перестановок, чтобы избежать очень маленьких или больших чисел, которые ваша машина считает трудными.

$\sqrt{M_{ii}}$

— AHusain
источник

-1

$n$

$\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

$i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

$i\ne j$

$n$ $n$ $x$ $n$

$\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$ вероятности. Если бы у вас была какая-то другая норма, которая может гарантировать выполнение всех законов теории вероятностей, вы также можете использовать эту норму.

— user1271772
источник

@Nelimee: Я не могу ответить на ваше сообщение чата "Я не получил ваш ответ с 0 голосами", потому что я забанен в чате еще на 2 дня, но какую часть этого ответа вы не получите?

— user1271772

@Nelimee? Сейчас я в -1, поэтому был бы признателен, зная, какая часть была непонятной

— user1271772

То, что вы пишете, - это просто евклидова норма в бесконечных измерениях. Ваше утверждение «Евклидова норма в n-мерном пространстве, как определено здесь, не единственная норма, используемая для квантовых состояний». вводит в заблуждение до такой степени, что неправильно.

— Норберт Шух

@Norbert. (1) это КВАДРАТ евклидовой нормы. (2) здесь оно НЕИЗБЕЖНО бесконечно. Он больше не n-мерен даже для счетно бесконечного n.

— user1271772

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$