^{Примечание к словарю: слово «гамильтониан» в этом вопросе используется для обозначения эрмитовых матриц.}

Алгоритм HHL, по-видимому, является активным объектом исследований в области квантовых вычислений, главным образом потому, что он решает очень важную проблему, которая заключается в поиске решения линейной системы уравнений.

Согласно оригинальной статье Quantum алгоритм решения линейных систем уравнений (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) и некоторые вопросы, задаваемые на этом сайте

• Квантовая фазовая оценка и алгоритм HHL - требуется знание собственных значений?
• Квантовый алгоритм для линейных систем уравнений (HHL09): Шаг 2 - Подготовка начальных состояний и | б $\vert \Psi_0 \rangle$$\vert b \rangle$

алгоритм HHL ограничен некоторыми конкретными случаями. Вот краткое описание (которое может быть неполным!) Характеристик алгоритма HHL:

Алгоритм HHL

Алгоритм HHL решает линейную систему уравнений со следующими ограничениями:

Ограничения на :$A$

• должен быть эрмитовым (и работает только эрмитова матрица, см.Это обсуждение в чате).$A$
• Собственные значения A должны быть в [ 0 , 1 ) (см.Квантовая фазовая оценка и алгоритм HHL - необходимы знания о собственных значениях?)$A$$[0,1)$
• должно быть эффективно реализуемым. На данный момент единственными известными матрицами, которые удовлетворяют этому свойству, являются: $e^{iAt}$
  • локальные гамильтонианы (см. Универсальные квантовые симуляторы (Lloyd, 1996) ).
  • разреженные гамильтонианы (см.Генерация квантового состояния адиабаты и знание статистического нуля (Aharonov & Ta-Shma, 2003)).$s$

Ограничения на :$\vert b \rangle$

• должны быть эффективно получаютсом. Это касается: $\vert b \rangle$
  1. Специфические выражения . Например, государство | б ⟩ = п ⨂ я = 0 ( | 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ эффективно приготовлен. $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. , представляющий Дискретизация с эффективно интегрируемым распределением вероятностей (смСоздание наложенийкоторые соответствуют эффективно интегрируемых вероятностных распределений (Grover & Rudolph, 2002)).$\vert b \rangle$

Ограничения на (выход):$\vert x \rangle$

• $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

Вопрос: Принимая во внимание все эти ограничения и представляя, что мы находимся в 2050 году (или, может быть, в 2025 году, кто знает?) С отказоустойчивыми крупномасштабными квантовыми чипами (т.е. мы не ограничены аппаратным обеспечением), какие реальные проблемы существуют? может ли алгоритм HHL решить (включая проблемы, когда HHL используется только в качестве подпрограммы)?

Мне известна статья « Анализ конкретных ресурсов алгоритма квантовой линейной системы, используемого для вычисления сечения электромагнитного рассеяния двумерной цели» (Шерер, Валирон, Мау, Александр, Ван ден Берг и Чапуран, 2016 г.) и соответствующей реализации в язык программирования Quipper и я ищу другие примеры реального мира , где HHL бы применима на практике. Мне не нужна опубликованная статья, даже неопубликованная статья, я просто хочу привести примеры из реальной жизни .

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Даже если меня интересует каждый вариант использования, я бы предпочел несколько примеров, где HHL используется непосредственно, т.е. не используется в качестве подпрограммы другого алгоритма.

Меня еще больше интересуют примеры линейных систем, приводящих к дискретизации дифференциального оператора, который может быть решен с помощью HHL.

Но позвольте мне еще раз подчеркнуть, что меня интересуют все варианты использования (подпрограммы или нет), о которых вы знаете .

Пару лет назад Монтанаро и Паллистер показали в квантовых алгоритмах и методе конечных элементов, что алгоритм HHL может быть применен к методу конечных элементов (FEM), который является «техникой эффективного нахождения числовых приближений для решений граничного значения». задачи (BVP) для уравнений в частных производных, основанные на дискретизации пространства параметров через конечную сетку " .

Они показали, что в этом контексте HHL можно использовать для достижения (возможно, максимум) ускорения полинома по сравнению со стандартным классическим алгоритмом («метод сопряженных градиентов»).

Что касается реальных вариантов использования, они заявляют, что

«Одним из примеров применения является любая динамическая проблема, связанная с $n$

$A$ могут быть выполнены ).

Ребентрост и соавт. недавно использовал алгоритм HHL09 в своей нейронной сети A Quantum Hopfield (2018) для оптимизации энергетической функции сети Хопфилда .

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

Короче говоря, я считаю, что как только у нас появятся квантовые компьютеры с достаточно большим количеством кубитов и временем декогеренции, алгоритм HHL станет одной из наиболее полезных подпрограмм для любого алгоритма квантового машинного обучения (поскольку почти все машинное обучение и нейронные сети алгоритмы включают некоторую форму «градиентного спуска» или «оптимизации»).