Квантовый алгоритм для линейных систем уравнений (HHL09): Шаг 2 - Подготовка начальных состояний

^{Это продолжение квантового алгоритма для линейных систем уравнений (HHL09): Шаг 2 - Что такое$|\Psi_0\rangle$?}

В статье: Квантовый алгоритм для линейных систем уравнений (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , детали фактической реализации алгоритма не приводятся. Как именно штаты$|\Psi_0\rangle$ а также $|b\rangle$созданы, это своего рода « черный ящик » (см. стр. 2-3).

а также

где $|\Psi_0\rangle$ это начальное состояние регистра часов и $|b\rangle$ является начальным состоянием входного регистра.

(Скажи) Я хочу выполнить их алгоритм на IBM$16$квантовый компьютер. И я хочу решить определенное уравнение$\mathbf{Ax=b}$ где $\mathbf{A}$ это $4\times 4$ Эрмитова матрица с реальными записями и $\mathbf{b}$ это $4\times 1$ вектор столбца с реальными записями.

Давайте возьмем пример:

а также

Учитывая размеры $\mathbf{A}$ а также $\mathbf{b}$нам нужно $\lceil{\log_2 4\rceil}=2$ кубиты для входного регистра и другого $6$ кубиты для регистра часов, предполагая, что мы хотим, чтобы собственные значения были представлены $90\%$ точность и до $3$-битная точность для собственных значений (это обсуждалось здесь ранее). Итого$2+6+1=9$ кубиты будут необходимы для этой цели (дополнительный $1$ кубит является вспомогательным).

Вопросов:

1. Используя эту информацию, возможно ли создать начальные состояния$|\Psi_0\rangle$ а также $|b\rangle$ на IBM $16$ версия кубита?

2. Если вы считаете $4\times 4$слишком велик для реализации на квантовых компьютерах IBM, вы могли бы даже показать пример подготовки начального состояния для$2\times 2$ Эрмитова матрица $\mathbf{A}$ (или просто дайте ссылку на такой пример).

Я просто хочу получить общее представление о том, можно ли это сделать (то есть, возможно ли это) на квантовом компьютере IBM с 16 кубитами, и для того, какие шлюзы будут необходимы. Если не 16-кубитовый квантовый компьютер IBM, может ли симулятор QISKit использоваться для воссоздания подготовки начального состояния$|\Psi_0\rangle$ а также $|b\rangle$в алгоритме HHL? Есть ли другая лучшая альтернатива, чтобы пойти по этому поводу?

Невозможно создать начальные состояния $\left| \Psi_0\right>$ а также $\left|b\right>$на версии IBM 16 кубитов. С другой стороны, их можно аппроксимировать с произвольно малой ошибкой ^1, поскольку вентили, реализованные чипами IBM, предоставляют такую ​​возможность.

Здесь вы просите 2 разных квантовых состояния:

1. $\left| b \right>$не ограничен вообще. Штат$\left| b \right>$ представлен вектором $N$ комплексные числа, которые могут быть чем угодно (при условии, что вектор имеет унитарную норму).
2. $\left| \Psi_0 \right>$ можно рассматривать как частный случай $\left| b \right>$где коэффициенты $b_i$ более ограничены.

С помощью этого анализа любой метод, который может быть использован для создания $\left|b\right>$ также может быть использован для создания $\left| \Psi_0 \right>$, С другой стороны, как$\left| \Psi_0 \right>$ более ограничен, мы можем надеяться, что существуют более эффективные алгоритмы для производства $\left| \Psi_0 \right>$,

Полезно для $\left|b\right>$ а также $\left|\Psi_0\right>$: Основанный на синтезе квантовых логических схем (Shende, Bullock & Markov, 2006) , в SDK QISKit Python реализован универсальный метод для инициализации произвольного квантового состояния.

Полезно для $\left|\Psi_0\right>$: Создание наложений , которые соответствуют эффективно интегрируемым вероятностным распределениям (Grover & Rudolph, 2002) подарки быстро алгоритм инициализации состояния которого амплитуда представляет собой распределение вероятностей уважая некоторые ограничения. Эти ограничения соблюдаются для$\left|\Psi_0\right>$согласно Квантовому алгоритму для решения линейных систем уравнений (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , последняя строка на стр. 5.

Для реализации на QISKit, вот пример для инициализации данного квантового состояния:

import qiskit

statevector_backend = qiskit.get_backend('local_statevector_simulator')

###############################################################
# Make a quantum program for state initialization.
###############################################################
qubit_number = 5
Q_SPECS = {
    "name": "StatePreparation",
    "circuits": [
        {
            "name": "initializerCirc",
            "quantum_registers": [{
                "name": "qr",
                "size": qubit_number
            }],
            "classical_registers": [{
                "name": "cr",
                "size": qubit_number
            }]},
    ],
}
Q_program = qiskit.QuantumProgram(specs=Q_SPECS)

## State preparation
import numpy as np
from qiskit.extensions.quantum_initializer import _initializer

def psi_0_coefficients(qubit_number: int):
    T = 2**qubit_number
    tau = np.arange(T)
    return np.sqrt(2 / T) * np.sin(np.pi * (tau + 1/2) / T)

def get_coeffs(qubit_number: int):
    # Can be changed to anything, the initialize function will take
    # care of the initialisation.
    return np.ones((2**qubit_number,)) / np.sqrt(2**qubit_number)
    #return psi_0_coefficients(qubit_number)

circuit_prep = Q_program.get_circuit("initializerCirc")
qr = Q_program.get_quantum_register("qr")
cr = Q_program.get_classical_register('cr')
coeffs = get_coeffs(qubit_number)
_initializer.initialize(circuit_prep, coeffs, [qr[i] for i in range(len(qr))])

res = qiskit.execute(circuit_prep, statevector_backend).result()
statevector = res.get_statevector("initializerCirc")
print(statevector)

¹ Здесь «ошибка» относится к ошибке между идеальным состоянием и приближением при работе с совершенным квантовым компьютером (т.е. без декогеренции, без ошибки логического элемента).

Алгоритм HHL с матрицей A 4 x 4 может быть слишком большим для компьютера IBM. Я попробовал меньшую игрушечную версию алгоритма в соответствии с arXiv 1302.1210 ссылка Решение систем линейных уравнений

Я немного объяснил об этой схеме здесь в stackexchange: /cs/76525/could-a-quantum-computer-perform-linear-algebra-faster-than-a-classical-computer/ 77036 # 77036

К сожалению, это только 1-кубитный вход с матрицей A = 2 x 2, в ответе дается ссылка на схему IBM.