Почему механизм «фазового отдачи» работает в алгоритме квантовой оценки фазы?

Я, наверное, пару раз раньше читал главу о квантовом преобразовании Фурье и его приложениях из Nielsen и Chuang (издание 10-й годовщины), и это воспринималось как должное, но сегодня, когда я снова посмотрел на него, оно не мне это вообще не кажется очевидным!

Вот принципиальная схема алгоритма оценки фазы:

Первый регистр, имеющий кубитов, предположительно является «регистром управления». Если какой-либо кубит в первом регистре находится в состоянии соответствующий управляемый унитарный вентиль применяется ко второму регистру . Если он находится в состоянии он не применяется ко второму регистру . Если он находится в суперпозиции двух состояний и действие соответствующего унитарного элемента во втором регистре можно определить по «линейности». Обратите внимание, что все шлюзы действуют только во втором регистре и ни в одном регистре. Первый регистр должен быть только контрольным . $t$ $|1\rangle$ $|0\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Тем не менее, они показывают, что конечное состояние первого регистра как:

\frac{1}{2^{T / 2}} (| 0 ⟩ + ехр (2 π я 2^{T - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + ехр (2 π я 2^{T - 2} φ) | 1 ⟩),,, (| 0 ⟩ + ехр (2 π я 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

Я удивлен тем, почему мы считаем, что вообще произошло изменение состояния первого регистра кубитов после действия ворот Адамара. Конечное состояние первого регистра должно было быть

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}^{\otimes T}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t}$

не так ли? Я говорю это потому, что первый регистр должен быть только контрольным. Я не понимаю, как или почему состояние первого регистра должно меняться, когда он действует как элемент управления.

Сначала я думал, что рассмотрение экспоненциальных факторов как части первых регистровых состояний кубитов было только математическим удобством, но тогда это не имело смысла. Состояние кубита или системы кубитов не должно зависеть от того, что нам математически удобно!

Итак, кто-то может объяснить, почему именно меняется состояние первого регистра кубитов, даже если он просто действует как «контроль» для второго регистра? Это просто математическое удобство или есть что-то более глубокое?

— Санчайан Датта
источник

Не ответ, но: что бы это значило для «математического удобства», если бы оно не представляло фактического изменения состояния? Либо математика точно описывает, как изменяются квантовые состояния, либо нет. Если это не так, у вас есть большие проблемы, чем этот пример. Если вы предполагаете, что математика точно описывает физику, то математическое представление не просто удобно: состояния (контрольных кавычек) контрольных проводов действительно изменяются в этой подпрограмме. Можно понять, почему, но сначала вы должны признать, что они меняются.

— Ниль де Бодрап,

Математика - это именно то, что объясняется в этом ответе: Quantcomputing.stackexchange.com/a/1791/1837, но эта ситуация проще и, возможно, легче понять

— DaftWullie

@NieldeBeaudrap Ну, мой вопрос точно, «почему» это меняется

— Санчайан Датта

@DaftWullie Математика не выглядит сложной. Давайте просто возьмем простой пример контролируемых ворот

. Если контрольный регистр находится в состоянии

, то он применяется ко

дать

. Но они считают, что экспоненциальный множитель

является фактором управляющего кубита в первом регистре, т.е.

U^{2^{0}}

$U^{2^0}$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

| u ⟩

$|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ) | u ⟩

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

а не второго регистра. Мой вопрос: почему так?

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

— Санчайан Датта

cc @NieldeBeaudrap ^

— Санчайан Датта

Ответы:

Представь, что у тебя есть собственный вектор из . Если у вас есть такое состояние, как и применить контролируемое к ней, вы получите из . Этап не привязан к конкретному регистру, это всего лишь общий мультипликативный фактор. $|u\rangle$ $U$ $|1\rangle|u\rangle$ $U$ $e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

Теперь давайте использовать суперпозицию на первом регистре: можно переписать в виде

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | u ⟩ \mapsto | 0 ⟩ | u ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩ | u ⟩

$(|0\rangle+|1\rangle)|u\rangle\mapsto |0\rangle|u\rangle+e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

(| 0 ⟩ + е^{я φ} | 1 ⟩) | U ⟩

$(|0\rangle+e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle$ поэтому он появляется в первом регистре, даже если он был как бы создан во втором регистре. (Конечно, эта интерпретация не совсем верна, потому что она была создана двумя кубитами, действующими на оба кубита).

Этот шаг лежит в основе многих квантовых алгоритмов.

Почему бы нам не написать и просто утверждают , что это не отделимы? $|\Psi\rangle=|0\rangle|u\rangle+|1\rangle(e^{i\phi}|u\rangle)$

Нельзя просто утверждать это, но нужно показать это математически. Например, можно взять частичный след поверх второго кубита, Чтобы взять частичный след, мы выбираем базис для суммирования. Для простоты давайте выберем , где

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = {Tr}_{B} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | + | 1 ⟩ ⟨ 0 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | + | 0 ⟩ ⟨ 1 | \otimes | u ⟩ ⟨ U | е^{- я φ} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes е^{я φ} | U ⟩ ⟨ U | е^{- я φ})

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=\text{Tr}_B(|0\rangle\langle 0|\otimes |u\rangle\langle u|+|1\rangle\langle 0|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|+|0\rangle\langle 1|\otimes |u\rangle\langle u|e^{-i\phi}+|1\rangle\langle 1|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|e^{-i\phi})$

{| u ⟩, | u^{⊥} ⟩}

$\{|u\rangle,|u^\perp\rangle\}$

⟨ u | u^{⊥} ⟩ = 0

$\langle u|u^\perp\rangle=0$ и

. Тогда вы получите

⟨ u | (e^{i ϕ} | u ⟩ = e^{i ϕ}

$\langle u|(e^{i\phi}|u\rangle=e^{i\phi}$

Это ранг 1 (и вы можете видеть, что фаза появилась в первом регистре), поэтому состояние не запутано. Это отделимо.

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e^{- i ϕ} | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=|0\rangle\langle 0|+e^{i\phi}|1\rangle\langle 1|+e^{-i\phi}|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 1|$

— DaftWullie
источник

Моя главная проблема связана с переписыванием. Математически это просто перестановка, но физически переписывание может иметь глубокие последствия. Скажите, почему бы мне не написать это вместо этого как

и просто утверждают , что он не отделит в тензорные произведения из - за запутанности? Почему этот коэффициент

принадлежать состоянию кубита в первом регистре, а не состоянию кубита во втором регистре?

| 0 ⟩ (| u ⟩) + | 1 ⟩ (e^{i ϕ} | u ⟩)

$|0\rangle(|u\rangle) + |1\rangle (e^{i\phi}|u\rangle)$

e^{i ϕ}

$e^{i\phi}$

— Санчайан Датта

Как вы определяете "запутанный"? По любому определению, это не запутано. Попробуйте взять частичный след, например. Более того, я полагаю, у вас, как правило, нет проблем с удалением глобальной фазы из целого выражения по сравнению с удержанием этой фазы на разных компонентах?

— DaftWullie

A

$A$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta }|0\rangle)_B$

(| 0 ⟩)_{A} \otimes (e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(|0\rangle)_A\otimes (e^{i\theta}|0\rangle)_B$

e^{i θ} (| 0 ⟩)_{A} \otimes (| 0 ⟩)_{B}

$e^{i\theta}(|0\rangle)_A\otimes (|0\rangle)_B$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{A}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_A$

| 0 ⟩_{B}

$|0\rangle_B$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_B$

Я думаю, что у меня есть проблема с перемещением вокруг "глобальной фазы", как это. Я никогда не думал об этом раньше.

— Санчайан Датта

Там нет никакой физической разницы. Подумайте об этом так: какой эксперимент вы бы провели, чтобы различить их? Если есть физическая разница, должен быть способ отличить их.

— DaftWullie

Первое замечание

Это же явление «управляющих» состояний изменения кубитов в некоторых обстоятельствах также имеет место с воротами «контролируемое НЕ»; фактически, это вся основа для оценки собственных значений. Так что это не только возможно, это важный факт о квантовых вычислениях, что это возможно. У него даже есть название: «фазовый удар», в котором управляющие кубиты (или, в более общем случае, управляющий регистр) подвергаются относительным фазам в результате действия некоторой операции над некоторым целевым регистром. $\def\ket#1{\lvert#1\rangle}$

Причина, почему это происходит

Почему это так? В основном это сводится к тому, что стандартная основа на самом деле не так важна, как мы иногда описываем ее как существующую.

Укороченная версия. Только стандартные базисные состояния на управляющих кубитах не затрагиваются. Если управляющий кубит находится в состоянии, которое не является стандартным базовым состоянием, его в принципе можно изменить.

Более длинная версия -

Рассмотрим сферу Блоха. В конце концов, это сфера - абсолютно симметричная, ни одна точка не является более особенной, чем любая другая, и ни одна ось не является более особенной, чем любая другая. В частности, стандартная основа не особо особенная.

| 00 ⟩ \to [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

$\ket{00} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$

C N O T \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] .

$\mathrm{CNOT} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\,.$

$\{0,1\}$

\begin{aligned} | + + ⟩ \to & [1 0 0 0]^{†}, \\ | + - ⟩ \to & [0 1 0 0]^{†}, \\ | - + ⟩ \to & [0 0 1 0]^{†}, \\ | - - ⟩ \to & [0 0 0 1]^{†}, \end{aligned}

$\begin{aligned} \ket{++} \to{}& [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{+-} \to{}& [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{-+} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{--} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \,]^\dagger \,. \end{aligned}$

| 00 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}],

$\ket{00} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,.$

$H \otimes H$ $\ket{++} = [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $\ket{+-} = [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $X$ $Z$

\begin{aligned} C N O T \to \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT} \to \tfrac{1}{4}{}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} }\, = \,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned}$

X

$X$

\begin{aligned} C N O T | + + ⟩ & = | + + ⟩, \\ C N O T | + - ⟩ & = | - - ⟩, \\ C N O T | - + ⟩ & = | - + ⟩, \\ C N O T | - - ⟩ & = | + - ⟩ . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT}\,\ket{++} &= \ket{++} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{+-} &= \ket{--}, \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{-+} &= \ket{-+} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{--} &= \ket{+-} . \end{aligned}$

Теперь я мог бы показать этот же факт намного быстрее без всего этого разговора об изменениях в системе отсчета. На вводных курсах по квантовым вычислениям в информатике подобное явление может быть описано без упоминания слов «система отсчета». Но я хотел дать вам больше, чем просто расчет. Я хотел обратить внимание на тот факт, что CNOT в принципе не просто матрица; что стандартная основа не является специальной основой; и что когда вы убираете эти вещи, становится ясно, что операция, осуществляемая CNOT, явно может повлиять на состояние контрольного кубита, даже если CNOT - единственное, что вы делаете со своими кубитами.

Сама идея, что существует «контрольный» кубит, центрирована на стандартной основе и встраивает предубеждение о состояниях кубитов, которое побуждает нас думать об операции как об односторонней. Но как физик, вы должны быть глубоко подозрительны к односторонним операциям. На каждое действие существует равная и противоположная реакция ; и здесь очевидная односторонность CNOT в стандартных базовых состояниях опровергается тем фактом, что для состояний X eigenbasis именно «цель» в одностороннем порядке определяет возможное изменение состояния «контроля».

Вы задавались вопросом, было ли в игре что-то, что было только математическим удобством, включая выбор нотации. На самом деле, есть: способ, которым мы пишем наши состояния с акцентом на стандартную основу, что может привести вас к разработке нематематической интуиции операции только в терминах стандартной основы. Но измените представление, и эта нематематическая интуиция исчезнет.

То же самое, что я обрисовал в общих чертах для влияния CNOT на состояния X-собственного основания, также происходит в оценке фазы, только с преобразованием, отличным от CNOT. «Фаза», хранящаяся в «целевом» кубите, переносится в «контрольный» кубит, потому что цель находится в собственном состоянии операции, которая когерентно контролируется первым кубитом. С точки зрения компьютерных наук квантовых вычислений, это одно из самых известных явлений в этой области. Это заставляет нас признать тот факт, что стандартное основание является особенным только в том смысле, что оно является тем, с которым мы предпочитаем описывать наши данные, но не в том, как ведет себя сама физика.

— Ниль де Бодрап
источник

-1

Отличный вопрос
Я тоже однажды спросил об этом, но это не просто вопрос математического удобства.
Контролируемый-U - это «запутанные» врата.
После запутывания нельзя разделить состояние на «первый регистр» и «второй регистр».
Думайте об этих регистрах отдельно в начале или когда нет запутывания. После запутывания лучше всего тщательно проработать математику (умножение матриц), и вы действительно получите состояние, данное Нильсеном и Чуаном.

Попытка поднять вопрос, но нужно подождать, пока у меня 15 репутации.

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

| u ⟩

$|u\rangle$

@Blue Я не пишу это как полный ответ, потому что мне самому трудно усвоить концепцию в моем сознании, во всяком случае, это происходит из-за феномена «фазового отката», а также из-за того, что контроль и цель несколько запутались. Попробуйте прочитать раздел 2.2 докторской диссертации Моски, это лучшее объяснение, которое я нашел до сих пор.

— FSic

@ F.Siciliano Хорошо, спасибо. Я прочитаю

— Санчайан Датта,