Как реализовать экспоненциальную матрицу в квантовой схеме?

Может быть, это наивный вопрос, но я не могу понять, как на самом деле возвести в степень матрицу в квантовой цепи. Предполагая иметь общую квадратную матрицу A , если я хочу получить ее экспоненциальную, $e^{A}$ я могу использовать серию

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Иметь свое приближение. Я не понимаю, как сделать то же самое, используя квантовые вентили, а затем применить его, например, для выполнения гамильтоновой симуляции. Немного помощи?

— FSIC
источник

Не ясно, говорите ли вы о квантовой цепи, которая принимает

A

$A$ в качестве входа и выхода

e^{A}

$e^A$ или гамильтоново моделирование (т.е. построение схемы, унитарная матрица которой совпадает

e^{i A}

$e^{iA}$ ).

— Нелиме

Виноват; то, что я имел в виду, взяв матрицу А, я хочу, чтобы в моей схеме была ее экспонента,

e^{i A}

$e^{iA}$ ,

— FSic

Переформулируй свой вопрос:

Как выполнить гамильтоново моделирование для общей квадратной матрицы $A$ ?

Быстрый ответ : это невозможно.

Цель гамильтонова симуляции (ГС) - найти квантовый контур (т.е. последовательность элементов), который действует как $U(t) = e^{-iAt}$ на квантовом состоянии. Вот $U(t)$ должен быть унитарным (из-за свойств квантовых вентилей) и так $e^{-iAt}$ также должен быть унитарным.

Таким образом, алгоритм HS применим только к матрицам $A$ такой, что $e^{-iAt}$ унитарный. Каждая эрмитова матрица удовлетворяет этому свойству, но не каждая generic square matrix. В зависимости от вашей проблемы это ограничение может быть или не быть проблемой, но вы не можете использовать HS, если $e^{-iAt}$ не унитарный.

Например, для алгоритма HHL (который использует HS из $A$ как подпрограмма) с системой $Ax=b$ , если $e^{-iAt}$ не унитарно, вы можете вместо этого рассмотреть проблему

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$ решить ее с помощью HHL (что теперь возможно, потому что новая матрица

C

$C$ эрмитово) и выздоравливай

x

$x$ ,

Итак, интересный вопрос сейчас:

Как выполнить гамильтоново моделирование для данной эрмитовой матрицы $A$ ?

И ответ будет зависеть от свойств $A$ ,

Это огромная тема для исследования, и о ней есть, что сказать. Я не буду представлять здесь все методы, поскольку они довольно сложны, и я не все понял. Вот список документов / презентаций, которые связаны с ГС и которые могут быть интересны для начала с ГС:

Моделирование гамильтоновой динамики на небольшом квантовом компьютере : слайды о ГС. Даже если это презентация, это самый полный источник, который я нашел о гамильтоновом моделировании. Он быстро представляет 3 различных метода и цитирует интересные статьи для каждого метода.
Конспект лекций по квантовым алгоритмам (Эндрю М. Чайлдс, 2017) : недавний и довольно полный. ГС обсуждается в главе 25 (стр. 123).
Экспоненциальное улучшение точности для моделирования разреженных гамильтонианов : подробно представлен один из 3 методов, представленных в 1.
Эффективные квантовые алгоритмы для моделирования разреженных гамильтонианов : подробно представлен еще один из 3 методов, представленных в 1.

— Nelimee
источник

Спасибо, особенно за ссылки, я их посмотрю!

— FSic

Я рекомендую начать с первой ссылки. Это наиболее полный и дает ссылку на другие статьи. Для меня (личная точка зрения) первая техника, использующая формулу Троттера-Судзуки, является наиболее понятной. Но это может быть не так для вас!

— Нелиме

Каждая эрмитова матрица удовлетворяет этому свойству : более конкретно, все и только эрмитовы матрицы имеют это свойство

— GLS