^{Это продолжение Квантового алгоритма для линейных систем уравнений (HHL09): Шаг 1 - Путаница в отношении использования алгоритма оценки фазы и Квантового алгоритма для линейных систем уравнений (HHL09): Шаг 1 - Количество необходимых кубитов} .

---

В статье: Квантовый алгоритм для линейных систем уравнений (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , что написано до части

Следующим шагом является разложение $|b\rangle$в базисе собственных векторов с использованием оценки фазы [5–7]. Обозначить через$|u_j\rangle$ собственные векторы $A$ (или эквивалентно, из $e^{iAt}$) и $\lambda_j$ соответствующие собственные значения.

на странице $2$имеет некоторый смысл для меня (путаницы до там были рассмотрены в предыдущих сообщениях, связанных выше). Тем не менее, следующая часть, то есть$R(\lambda^{-1})$ вращение кажется немного загадочным.

Позволять

$$|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$

для некоторых больших $T$, Коэффициенты$|\Psi_0\rangle$ выбираются (следуя [5-7]), чтобы минимизировать определенную функцию квадратичных потерь, которая появляется в нашем анализе ошибок (подробнее см. [13]).

Далее мы применяем условную гамильтонову эволюцию $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ на $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$, где $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$,

Вопросов:

1. Что именно$|\Psi_0\rangle$? Что$T$ а также $\tau$стоять за? Я понятия не имею, откуда это гигантское выражение

$$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$ вдруг приходит и как его использовать.

2. После этапа оценки фазы состояние нашей системы, по- видимому :

$$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$

Это, конечно, не может быть записано как

$$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$ т.е.

$$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$$

Итак, ясно, что $|b\rangle$не доступен отдельно во втором регистре. Так что я понятия не имею, как они готовят такое государство, как $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$на первом месте! Кроме того, что это делает$C$ в верхнем индексе $|\Psi_0\rangle^{C}$ Обозначим?

3. Откуда это выражение$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$вдруг появиться из? Какая польза от симуляции? И что$\kappa$ в $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$ ?

1. Определения

Имена и символы, используемые в этом ответе, следуют тем, которые определены в алгоритмах квантовых линейных систем: учебник для начинающих (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) . Отзыв сделан ниже.

1.1 Регистрация имен

Имена регистров определены на рисунке 5. алгоритмов линейных систем Quantum: учебник для начинающих (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (воспроизведен ниже):

• $S$ (1 кубит) - это вспомогательный регистр, используемый для проверки правильности выходных данных.
• $C$ ($n$ кубиты) - это часовой регистр, т. е. регистр, используемый для оценки собственных значений гамильтониана с квантовой оценкой фазы (QPE).
• $I$ ($m$ кубиты) - это регистр, хранящий правую часть уравнения $Ax = b$, Это магазины$x$, результат уравнения, когда $S$ измеряется, чтобы быть $\left|1\right>$ в конце алгоритма.

2. О $\left|\Psi_0\right>$:

1. Что именно $\left|\Psi_0\right>$?

   $\left|\Psi_0\right>$ одно возможное начальное состояние регистра часов $C$,

2. Что $T$ а также $\tau$ стоять за?

   $T$обозначает большое положительное целое число. Эта$T$ должно быть как можно большим, потому что выражение $\left|\Psi_0\right>$ асимптотически минимизировать данную ошибку для $T$растет до бесконечности. В выражении$\left|\Psi_0\right>$, $T$ будет $2^n$количество возможных состояний для квантовых часов $C$,

   $\tau$ это просто индекс суммирования

3. Почему такое гигантское выражение для $\left|\Psi_0\right>$?

   Смотрите пост DaftWullie для подробного объяснения.

   Следуя цитатам в квантовом алгоритме для линейных систем уравнений (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v3), мы получаем:

   1. Предыдущая версия этой же статьи Квантовый алгоритм для линейных систем уравнений (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v2) . Авторы пересмотрели статью 2 раза (имеется 3 версии оригинальной статьи HHL), а версия № 3 не включает всю информацию, представленную в предыдущих версиях. В версии V2 (раздел A.3. Начиная со страницы 17) авторы подробно анализируют ошибку с этим специальным начальным состоянием.
   2. Оптимальные квантовые часы (Бузек, Дерка, Массар, 1998), где выражение$\left|\Psi_0\right>$ дается как $\left|\Psi_{opt}\right>$ в уравнении 10. У меня нет знаний, чтобы полностью понять эту часть, но кажется, что это выражение является «оптимальным» в некотором смысле.

3. Подготовка $\left|\Psi_0\right>$:

Как сказано в предыдущей части, $\left|\Psi_0\right>$это начальное состояние. Они не готовят$\left|\Psi_0\right>$после процедуры оценки фазы. Порядок предложений не совсем оптимален в статье. Процедура оценки фазы, которую они используют в статье, немного отличается от «классического» алгоритма оценки фазы, представленного в квантовой схеме, связанной в части 1, и поэтому они объясняют это в деталях.

Их алгоритм оценки фазы:

1. Подготовить $\left|\Psi_0\right>$ указать в реестре $C$,
2. Применить условную гамильтонову эволюцию к регистрам $C$ а также $I$ (которые находятся в состоянии $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$).
3. Примените квантовое преобразование Фурье к полученному состоянию.

Наконец, $C$ в $\left| \Psi_0 \right>^C$ означает, что государство $\left| \Psi_0 \right>$ хранится в реестре $C$, Это короткое и удобное обозначение для отслеживания используемых регистров.

4. Гамильтоново моделирование:

Прежде всего, $\kappa$это номер условия ( страница Википедии на «номер условия» ) матрицы$A$,

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ математическое представление квантовых ворот

Первая часть в сумме $|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$это контрольная часть. Это означает, что операция будет контролироваться состоянием первого квантового регистра (регистра$C$ как говорит нам экспонента).

Вторая часть - это «гамильтоново моделирование», т.е. квантовые врата, которые будут применять унитарную матрицу, заданную $e^{iA\tau t_0/T}$ ко второму регистру (регистр $I$ то есть в исходном состоянии $\left|b\right>$).

Вся сумма представляет собой математическое представление операции с контролируемым U в квантовой схеме «1. Определения», где $U = e^{iA\tau t_0/T}$,

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$Отвечая на ваш первый вопрос, я написал себе несколько заметок о своем понимании того, как это работает. Нотация, вероятно, немного отличается (я пытался привести ее в большее соответствие, но легко пропустить биты), но пытается объяснить этот выбор состояния$|\Psi_0\rangle$, Там также, кажется, есть некоторые факторы$\frac12$ плавает в местах.

Когда мы впервые изучаем оценку фазы, мы обычно думаем об этом в отношении использования в каком-то конкретном алгоритме, таком как алгоритм Шора. Это имеет конкретную цель: получить лучшее$t$приближение к собственному значению. Вы либо делаете, либо нет, и описание оценки фазы специально настроено, чтобы дать как можно более высокую вероятность успеха.

В ХХЛ мы пытаемся создать какое-то государство

$$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$$ где $\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$, используя оценку фазы. Точность аппроксимации этого будет гораздо более критично зависеть от точной оценки собственных значений, близких к 0, а не тех, которые далеки от 0. Поэтому очевидным шагом является попытка изменить протокол оценки фазы так, чтобы чем использование "бункеров" фиксированной ширины$2\pi/T$ для аппроксимации фаз $e^{-iAt}$ ($T=2^t$ а также $t$ число кубитов в регистре оценки фазы), мы могли бы скорее указать набор $\phi_y$ за $y\in\{0,1\}^t$действовать как центр каждого бина, так что мы можем значительно увеличить точность близко к 0 фазе. В более общем смысле, вы можете указать функцию компромисса для того, насколько терпимо вы можете быть к ошибкам в зависимости от фазы$\phi$, Точная природа этой функции затем может быть настроена на конкретное приложение, а также конкретный показатель качества, который вы будете использовать для определения успеха. В случае с алгоритмом Шора наша заслуга была просто в этом протоколе биннинга - мы были успешны, если ответ был в правильном бункере, и безуспешно вне его. Это не будет иметь место в HHL, чей успех более разумно фиксируется непрерывной мерой, такой как верность. Итак, для общего случая обозначим функцию стоимости$C(\phi,\phi')$ который определяет штраф за ответы $\phi'$ если истинная фаза $\phi$,

Напомним, что стандартный протокол оценки фазы работал путем создания входного состояния, которое представляло собой равномерную суперпозицию всех базовых состояний. $\ket{x}$ за $x\in\{0,1\}^t$, Это состояние использовалось для контроля последовательного применения нескольких$U$ворота, за которыми следует обратное преобразование Фурье. Представьте, что мы могли бы заменить входное состояние другим

$$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$$ и тогда остальная часть протокола может работать как раньше. Сейчас мы проигнорируем вопрос о том, как трудно создать новое государство.$\ket{\Psi_0}$, так как мы просто пытаемся донести основную концепцию. Начиная с этого состояния, использование$U$ ворота (нацелены на собственный вектор $U$ собственного значения $\phi$), производит государство $$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$$ Применение обратного преобразования Фурье дает $$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$$ Вероятность получения ответа $y$ (т.е. $\phi'=2\pi y/T$) является $$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$$ поэтому ожидаемое значение функции стоимости, предполагая случайное распределение $\phi$, является $$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$$ и наша задача - выбрать амплитуды $\alpha_x$ которые минимизируют это для любой конкретной реализации $C(\phi,\phi')$, Если мы сделаем упрощающее предположение, что$C(\phi,\phi')$ это только функция $\phi-\phi'$, тогда мы можем сделать изменение переменной в интеграции, чтобы дать $$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$$ Как мы уже отмечали, наиболее полезной мерой, вероятно, будет мера верности. Считайте, что у нас есть государство$\ket{+}$ и мы хотим реализовать унитарную $U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$, но вместо этого мы реализуем $U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$, Верность измеряет, насколько хорошо это достигает желаемой задачи, $$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$$ поэтому мы берем $$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$$ так как в идеальном случае $F=1$Таким образом, ошибка, которую мы хотим минимизировать, может быть принята за $1-F$, Это, безусловно, будет правильной функцией для оценки любого$U^t$, но для более общей задачи изменения амплитуд, а не только фаз, эффекты неточностей распространяются по протоколу менее тривиальным образом, поэтому трудно доказать оптимальность, хотя функция $C(\phi-\phi')$уже обеспечит некоторое улучшение по сравнению с равномерной суперпозицией состояний. Исходя из этой формы, мы имеем $$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$$ Интеграл по $\phi$ теперь можно выполнить, поэтому мы хотим минимизировать функцию $$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$$ Это может быть кратко выражено как $$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$$ где $$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$$ Оптимальный выбор $\ket{\Psi_0}$ минимальный собственный вектор матрицы $H$, $$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$$ а также $\bar C$ минимальное собственное значение $$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$$ Важно, для большого $T$, $\bar C$ масштабируется как $1/T^2$ а не $1/T$ что мы получили бы от выбора равномерного сцепления $\alpha_x=1/\sqrt{T}$, Это дает значительное преимущество для анализа ошибок.

Если вы хотите получить то же самое $|\Psi_0\rangle$ как сообщается в документе HHL, я считаю, что вы должны добавить условия $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$в гамильтониан. У меня нет никаких оснований для этого, однако, это, вероятно, моя ошибка.