Внедрение шлюза CCCNOT с использованием только ворот Toffoli

Вентиль CCCNOT - это четырехразрядный обратимый вентиль, который переворачивает свой четвертый бит, если и только если все первые три бита находятся в состоянии $1$ .

Как мне реализовать ворота CCCNOT, используя ворота Toffoli? Предположим, что биты в рабочей области начинаются с определенного значения, 0 или 1, при условии, что вы возвращаете их этому значению.

Я думаю, что вы ищете следующую схему. Здесь, $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ , и $\oplus$ является сложение по модулю $2$ .

Здесь пятый кубит используется в качестве вспомогательного или вспомогательного кубита . Это начинается в $|0\rangle$ и заканчивается в $|0\rangle$ , когда применяется схема.

Позвольте мне подробнее рассказать о том, как работает эта схема. Идея состоит в том, чтобы прежде всего проверить, находятся ли первые два кубита в состоянии $|1\rangle$ . Это может быть сделано с использованием единственного гейта Тоффоли, и результат сохраняется во вспомогательном кубите. Теперь задача сводится к переключению кубита $4$ , когда кубиты $3$ и вспомогательный кубит находятся в $|1\rangle$ . Это также может быть достигнуто с помощью одного приложения ворот Тоффоли, а именно среднего в схеме, показанной выше. Наконец, последний вентиль Toffoli служит для вычисления временного результата, который мы сохранили во вспомогательном кубите, так что состояние этого кубита возвращается к $|0\rangle$ после того, как схема применяется.

---

В разделе комментариев возник вопрос, возможно ли реализовать такую ​​схему, используя только логики Тоффоли, без использования вспомогательных кубитов. На этот вопрос можно ответить отрицательно, как я покажу здесь.

Мы хотим реализовать $\mathrm{CCCNOT}$ -gate, который действует на четыре кубита. Мы можем определить следующую матрицу (матрицу представление Паули $X$ -gate):

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Кроме того, мы будем обозначать $N$ - мерную матрицу идентичности $I_N$ . Теперь мы видим, что матричное представление $\mathrm{CCCNOT}$ ворот, действующих на четыре кубита, задается следующей матрицей $16 \times 16$ : $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ Следовательно, мы можем определить его определитель: $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ Теперь рассмотрим матричное представление ворот Тоффоли, действующих на первые три кубита$4$ система Его матричное представление записывается в виде (где мы использовали произведение матриц Кронекера): $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ Расчет его определяющих выходов: $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ Врата Тофоли, конечно же, могут действовать и на разные кубиты. Предположим, что мы позволяем воротам Тоффоли действовать на первом, втором и четвертом кубите, где четвертый кубит является целевым кубитом. Затем мы получаем новое матричное представление из представленного выше путем замены столбцов, соответствующих состояниям, которые отличаются только в третьем и четвертом кубите, т. Е. $|0001\rangle$ с $|0010\rangle$ , $|0101\rangle$ с $|0110\rangle$ и т.д. Важно отметить, что число перестановок столбцов четно, и , следовательно, определитель остается неизменным. Как мы можем записать каждую перестановку кубитов в виде последовательности последовательных перестановок просто$2$ кубита (т. Е.$S_4$ генерируется транспозициями в$S_4$ ), мы находим, что для всех тоффолио, примененных к любой комбинации контрольных и целевых кубитов, его матричное представление имеет определитель$1$ .

Последнее, что следует отметить, это то, что определитель коммутирует с умножением матриц, то есть $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ , для любых двух матриц $A$ и $B$ совместимых с умножением матриц. Следовательно, теперь становится очевидным, что применение нескольких последовательностей Toffoli никогда не создает схему, матричное представление которой имеет определитель, отличный от $1$ , что, в частности, подразумевает, что $\mathrm{CCCNOT}$ ворота не могут быть реализованы с использованием только элементов Toffoli для $4$ кубитов.

Теперь очевидный вопрос: что меняется, когда мы разрешаем вспомогательный кубит? Мы находим ответ, когда записываем действие $\mathrm{CCCNOT}$ ворот на $5$ кубитную систему:

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ Если мы вычислим этот определитель, мы найдем: $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ Следовательно, определитель$\mathrm{CCCNOT}$ -грэта, действующего на$5$ кубитах, равен$1$ , а не$-1$ . Вот почему предыдущий аргумент недействителен для$5$ кубитов, как мы уже знали из-за явно сконструированной схемы, запрошенной OP.