Квантовый алгоритм для линейных систем уравнений (HHL09): Шаг 1 - Путаница относительно использования алгоритма оценки фазы

11

Я уже некоторое время пытаюсь разобраться со знаменитым (?) Документом « Квантовый алгоритм для линейных систем уравнений» (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) (более широко известный как статья с алгоритмом HHL09 ).

На самой первой странице они говорят :

Мы набросаем здесь основную идею нашего алгоритма, а затем обсудим ее более подробно в следующем разделе. Учитывая эрмитову матрицу и единичный вектор , предположим, что мы хотели бы найти удовлетворяющий . (Мы обсудим более поздние вопросы эффективности, а также о том, как можно ослабить сделанные нами предположения относительно и .) Во-первых, алгоритм представляет как квантовое состояние $N\times N$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{x}$ $A\vec{x} = \vec{b}$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{b}$ . Далее мы используем методы гамильтонова моделирования [3, 4], чтобы применить кдля наложения разного времени. Эта способность возводить в степеньпереводит через хорошо известную технику оценки фазы [5–7] в способность разлагать в базисе матрицыи найти соответствующие собственные значения неформально, состояние системы после этой стадии близко к $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$ $e^{iAt}$ $|b_i\rangle$ $t$ $A$ $|b\rangle$ $A$ $\lambda_j$ , гдеесть собственный базис и. $\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$ $u_j$ $A$ $|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

Все идет нормально. Как описано в Nielsen & Chuang в главе « Квантовое преобразование Фурье и его приложения », алгоритм оценки фазы используется для оценки в который является собственным значением, соответствующим собственному вектору унитарного оператора . $\varphi$ $e^{i2\pi \varphi}$ $|u\rangle$ $U$

Вот соответствующая часть от Nielsen & Chuang:

Алгоритм оценки фазы использует два регистра. Первый регистр содержит кубитов, изначально находящихся в состоянии . То, как мы выбираем зависит от двух вещей: количества цифр точности, которые мы хотим иметь в нашей оценке для , и с какой вероятностью мы хотим, чтобы процедура оценки фазы была успешной. Зависимость от этих величин естественно вытекает из следующего анализа. $t$ $|0\rangle$ $t$ $\varphi$ $t$

Второй регистр начинается в состоянии и содержит столько же кубитов , как это необходимо для хранения . Оценка фазы выполняется в два этапа. Сначала мы применяем схему, показанную на рисунке 5.2. Схема начинается с применения преобразования Адамара к первому регистру с последующим применением операций с управляемым во втором регистре, причем увеличивается до последовательных степеней, равных двум. Конечное состояние первого регистра легко увидеть: $|u\rangle$ $|u\rangle$ $U$ $U$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩) = \frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} exp (2 π i φ k) | k ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$

Второй этап оценки фазы заключается в применении обратного квантового преобразования Фурье к первому регистру. Это получается путем обращения схемы для квантового преобразования Фурье в предыдущем разделе (упражнение 5.5) и может быть выполнено за шагов. Третий и последний этап оценки фазы заключается в считывании состояния первого регистра путем выполнения измерений на вычислительной основе. Покажем, что это дает довольно хорошую оценку . Общая схема алгоритма показана на рисунке 5.3. $\Theta (t^2)$ $\varphi$

Чтобы прояснить нашу интуицию относительно того, почему оценка фазы работает, предположим, что может быть выражено точно в битах, как . Тогда состояние (5.20), полученное в результате первого этапа оценки фазы, может быть переписано $\varphi$ $\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t} | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t - 1} φ_{t} | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{1} . . . φ_{t} | 1 ⟩)$ $\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$
$|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$ $\varphi$

$\varphi$ $U$ $|u\rangle$

$\frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{j = 0}^{2^{t} - 1} \exp (2 π i φ j) | j ⟩ | u ⟩ \to | \tilde{φ} ⟩ | u ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$

^$\dagger$

Шаг 1 (оценка фазы):

$A$ $A$ $e^{iAt}$ $A$

$U=e^{iAt}$ $|u_j\rangle$ $U$ $N\times N$ $N$ $A$ $\lambda_j$ $e^{iAt}$ $e^{i \lambda_j t}$ $U$ $e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$ $\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$ $|b\rangle$ $U$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $|u_j\rangle$ $U$ $|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$ $|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$ $|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$ $\lambda_j$ $|u_j\rangle$ $A$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

Вопрос:

$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

$\frac{t}{2\pi}$

Изменить: Часть 2 была задана здесь, чтобы сделать отдельные вопросы более сфокусированными.

^{У меня также есть несколько путаниц в отношении шага 2 и шага 3 алгоритма HHL09, но я решил опубликовать их как отдельные цепочки вопросов, так как этот становится слишком длинным. Я добавлю ссылки на эти темы вопросов в этом посте, как только они будут созданы.}

$\dagger$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Санчайан Датта
источник

1

6

$6$

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

| λ_{j} ⟩

$|\lambda_j\rangle$

| \frac{λ_{j} t}{2 π} ⟩

$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$

5

Это зависит от бумаг, но я видел 2 подхода:

$t$ $t = t_0 = 2\pi$
$\tilde \lambda$ $\lambda$ $\frac{t}{2\pi}$ $\tilde \lambda$ $\frac{\lambda t}{2\pi}$

Вот несколько ссылок:

$t$ $2\pi$
$t$ $t_0$ $2\pi$
$t = 2\pi$
$t_0 = 2\pi$

— Nelimee
источник

2

$\frac{t}{2\pi}$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $\lambda t/(2\pi)$ $A$ $\lambda$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $A$ $\lambda\rangle$

$|\tilde\lambda\rangle$

— DaftWullie
источник