Можно ли ускорить генерацию весовой матрицы с помощью квантового алгоритма?

В этой ^[1] статье на странице 2 они упоминают, что они генерируют весовую матрицу следующим образом:

$$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$$

где «s являются - мерные образцы обучения (то есть , где ) и всего имеется обучающих выборок. Такое генерирование весовой матрицы с использованием умножения матриц с последующим суммированием по слагаемым представляется дорогостоящей операцией с точки зрения сложности времени, т. Е. Я предполагаю около (?).$\mathbf{x}^{(m)}$$d$$\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$$x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$$M$$M$$O(Md)$

Существует ли какой-либо квантовый алгоритм, который может существенно ускорить генерацию матрицы весов? Я думаю, что в статье их основное ускорение происходит из-за алгоритма инверсии квантовой матрицы (который упоминается позже в статье), но они, похоже, не приняли во внимание этот аспект генерации матрицы весов.

[1]: Квантовая нейронная сеть Хопфилда Lloyd et al. (2018)

Взяв матрицу плотности

$$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$$ многие детали содержатся в следующем абзаце на странице 2:

Для квантовых адаптаций нейронных сетей решающее значение имеет классическое считывание моделей активации. В наших настройках чтение в шаблоне активации$x$ составляет подготовку квантового состояния $|x〉$, Это в принципе может быть достигнуто с использованием методов разработки квантовой оперативной памяти (qRAM) [33] или эффективной подготовки квантовых состояний, для которых существуют ограниченные, основанные на оракулах результаты [34]. В обоих случаях вычислительные затраты являются логарифмическими с точки зрения$d$, В качестве альтернативы можно адаптировать полностью квантовую перспективу и взять шаблоны активации$|x〉$непосредственно с квантового устройства или как выход квантового канала. Для первого наше время подготовки к подготовке эффективно, когда квантовое устройство состоит из множества вентилей, масштабируемых максимально за полиномиальное число кубитов. Вместо этого для последнего мы обычно рассматриваем канал как некую форму фиксированного взаимодействия системы и среды, которая не требует вычислительных затрат для реализации.

Ссылки в приведенном выше являются:

[33]: В. Джованетти, С. Ллойд, Л. Maccone, память с произвольным доступом Квант, Physical Review Letters 100, 160501 (2008) [ ПРЛ ссылку , Arxiv ссылка ]

[34]: А. Н. Соклаков, Р. Шак, Эффективная подготовка состояний для регистра квантовых битов, Physical Review A 73, 012307 (2006). [ АРП ссылка , Arxiv ссылка ]

---

Не вдаваясь в детали того, как оба вышеперечисленных действительно являются схемами для реализации эффективной реализации qRAM; и эффективная государственная подготовка, воссоздающая состояние$\left|x\right>$ во время $\mathcal O\left(\log_2 d\right)$,

Тем не менее, это только доходит до нас: это может быть использовано для создания государства $\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$в то время как мы хотим получить сумму по всем возможным $m$«S.

Кардинально, $\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$ является смешанным, поэтому не может быть представлен одним чистым состоянием, поэтому вторая из двух вышеупомянутых ссылок на воссоздание чистых состояний не применяется, а первая требует, чтобы это состояние уже было в qRAM.

Таким образом, авторы делают одно из трех возможных предположений:

1. У них есть устройство, которое как раз и дает им правильное состояние ввода

2. У них либо есть штаты $\rho^{\left(m\right)}$ в qRAM,

3. Они могут создавать эти состояния по своему усмотрению, используя вторую из приведенных выше ссылок. Затем смешанное состояние создается с использованием квантового канала (то есть полностью положительной, сохраняющей след карты (CPTP)).

На данный момент забывая о первых двух из вышеперечисленных вариантов (первый волшебным образом решает проблему в любом случае), канал может быть:

• спроектированная система, в которой она будет создана для конкретного экземпляра в чем-то, похожем на аналоговое моделирование. Другими словами, у вас есть физический канал, который занимает физическое время$t$(в отличие от некоторой временной сложности). Это «фиксированное взаимодействие системы и среды, которое не требует вычислительных затрат для реализации».

• Канал сам симулируется. Есть несколько работ по этому вопросу, например, « Приближенное моделирование квантовых каналов» Бени и Орешкова ( ссылка arXiv - это похоже на тщательную работу, но я не смог найти никаких заявлений о сложности времени), Lu et. и др. в экспериментальном моделировании квантового канала (не версия Arxiv, кажется, существует) и Вэй Синь и Лонга Arxiv препринт Эффективного моделирования универсального квантового канала в облаке квантового компьютера от IBM , который (для числа кубитов$n=\lceil\log_2 d\rceil$) дает временную сложность $\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$, Также может использоваться расширение Stinespring, со сложностью$\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$,

---

Теперь, глядя на вариант 2 ¹ , одним из возможных более эффективных методов будет передача состояний из регистра адресов в регистр данных обычным способом: для адресов в регистре$a$, $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$, передача этого в регистр данных дает состояние в регистре данных $d$ в виде $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$, Должна быть возможность просто декодировать регистр адреса и данных, чтобы преобразовать его в смешанное состояние, что приводит к небольшим накладным расходам времени, хотя не требует дополнительных затрат вычислительной сложности, что дает значительно улучшенную сложность создания$\rho$, учитывая qRAM с состояниями $\left|x^{\left(m\right)}\right>$из $\mathcal O\left(n\right)$, Это также сложность создания государств$\left|x^{\left(m\right)}\right>$ во-первых, давая потенциальную (значительно улучшенную) сложность производства $\rho$ из $\mathcal O\left(n\right)$,

^{1 Спасибо @glS за указание этой возможности в чате}

---

Эта матрица плотности затем подается в qHop (квантовый хопфилд), где она используется для моделирования $e^{-iAt}$ за

$$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$$ согласно подразделу « Эффективное гамильтоново моделирование A » на странице 8.