Какова мотивация за матрицы плотности? И в чем разница между матрицами плотности чистых состояний и матрицами плотности смешанных состояний?

^{Это продолжение с автоответчиком В чем разница между чистым и смешанным квантовым состоянием? & Как найти матрицу плотности кубита? Вы можете написать альтернативные ответы.}

мотивация

Мотивация для матриц плотности состоит в том, чтобы представлять отсутствие знаний о состоянии данной квантовой системы, заключая в едином описании этой системы все возможные результаты результатов измерений, учитывая то, что мы знаем о системе. Представление матрицы плотности обладает дополнительным преимуществом избавления от любых проблем, связанных с глобальными фазами, потому что Недостаток знаний может возникнуть по-разному:

$$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$$

• Субъективное отсутствие знаний - судья готовит для вас одно из множества состояний с вероятностью , но вы не знаете, какие именно. Даже если они знают, какой они подготовили, поскольку вы этого не делаете, вы должны описать его на основе того, что вам известно о возможном наборе состояний и их соответствующих вероятностях,,$\{|\phi_i\rangle\}$$p_i$$|\phi_j\rangle$$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

• Объективная нехватка знаний - если квантовая система является частью большего запутанного состояния, невозможно описать систему как чистое состояние, но все возможные результаты измерений описываются матрицей плотности, полученной из .$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

Интересно, однако, что объективная нехватка знаний может стать субъективной - вторая сторона может выполнять операции с остальной частью запутанного состояния. Они могут знать результаты измерений и т. Д., Но если они не передают их, человек, владеющий исходной квантовой системой, не имеет новых знаний, и поэтому описывает свою систему, используя ту же матрицу плотности, что и раньше, но теперь это субъективное описание ,

Также важно отметить, что при выборе конкретного способа представления матрицы плотности, например,Это очень субъективный выбор. Это может быть мотивировано конкретной процедурой подготовки, но математически любое описание, которое дает ту же матрицу, является эквивалентным. Например, на одном кубите называется максимально смешанным состоянием. Из-за отношения полноты базиса это может быть представлено как смесь 50:50 или два ортогональных состояния, используя любой 1-кубитный базис. $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$$\rho=\frac12\mathbb{I}$

$$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$$

Чистые и смешанные состояния

Разница между матрицей плотности чистого состояния и смешанного состояния проста - чистое состояние - это особый случай, который можно записать в видев то время как смешанное состояние не может быть записано в этой форме. Математически это означает, что матрица плотности чистого состояния имеет ранг 1, а смешанное состояние имеет ранг больше 1. Лучший способ вычислить это через : подразумевает чистое состояние, иначе оно смешанное. Чтобы увидеть это, вспомним, что , что означает, что все собственные значения суммируются с 1. Кроме того, является положительным полуопределенным, поэтому все собственные значения являются действительными и неотрицательными. Итак, если$\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$$\text{Tr}(\rho^2)$$\text{Tr}(\rho^2)=1$$\text{Tr}(\rho)=1$$\rho$$\rho$равен рангу 1, собственные значения равны , и их сумма квадрата равна 1. Сумма квадрата любого другого набора неотрицательных чисел, сумма которых равна 1, должна быть меньше 1.$(1,0,0,\ldots ,0)$

Чистое состояние соответствует совершенному знанию системы, хотя забавная часть квантовой механики заключается в том, что это не означает полного знания возможных результатов измерений. Смешанные состояния представляют собой некоторые несовершенные знания, будь то знания о подготовке или знания о большем гильбертовом пространстве.

То, что описание смешанного состояния гораздо богаче, видно из сферной картины Блоха на одном кубите: все чистые состояния - это те, что находятся на поверхности сферы, а смешанные состояния - это те, которые содержатся в объеме. С точки зрения подсчета параметров, вместо двух параметров вам нужно три, дополнительный, соответствующий длине вектора Блоха. где является трехэлементным единичным вектором, - вектор матриц Паули, для чистого состояния и для смешанного состояния.

$$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$$ $\underline{n}$$\underline{\sigma}$$r=1$$0\leq r<1$

Мотивация за матрицами плотности ^[1] :

В квантовой механике состояние квантовой системы представлено вектором состояния, обозначенным $|\psi\rangle$(и произносится кет ). Квантовая система с вектором состояния$|\psi\rangle$называется чистым состоянием . Однако также возможно, чтобы система находилась в статистическом ансамбле различных векторов состояний. Например, может быть$50\%$ вероятность того, что вектор состояния $|\psi_1\rangle$ и $50\%$ вероятность того, что вектор состояния $|\psi_2\rangle$, Эта система будет в смешанном состоянии . Матрица плотности особенно полезна для смешанных состояний, потому что любое состояние, чистое или смешанное, может характеризоваться одной матрицей плотности. Смешанное состояние отличается от квантовой суперпозиции. Вероятности в смешанном состоянии являются классическими вероятностями (как и вероятности, которые изучаются в классической теории вероятностей / статистике), в отличие от квантовых вероятностей в квантовой суперпозиции. На самом деле, квантовая суперпозиция чистых состояний является еще одним чистым состоянием, например,$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$, В этом случае коэффициенты$\frac{1}{\sqrt {2}}$ не вероятности, а скорее амплитуды вероятности.

Пример: поляризация света

Примером чистых и смешанных состояний является поляризация света. Фотоны могут иметь две спиральности , соответствующие двум ортогональным квантовым состояниям,$|R\rangle$(правая круговая поляризация ) и$|L\rangle$(левая круговая поляризация ). Фотон также может находиться в состоянии суперпозиции, например$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$(вертикальная поляризация) или $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$(горизонтальная поляризация). В общем, это может быть в любом состоянии$\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ (с $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$) соответствует линейной , круговой или эллиптической поляризации. Если мы пройдем$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$поляризованный свет через круговой поляризатор, который позволяет только$|R\rangle$ поляризованный свет или только $|L\rangle$поляризованный свет, интенсивность будет уменьшена вдвое в обоих случаях. Это может привести к тому , что половина фотонов находится в состоянии$|R\rangle$ а другой в состоянии $|L\rangle$, Но это не правильно: оба$|R\rangle$ а также $|L\rangle$частично поглощаются вертикальным линейным поляризатором , но$\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ свет пройдет через этот поляризатор без какого-либо поглощения.

Однако неполяризованный свет, такой как свет лампы накаливания , отличается от любого состояния, такого как$\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$(линейная, круговая или эллиптическая поляризация). В отличие от линейно или эллиптически поляризованного света, он проходит через поляризатор с$50\%$потеря интенсивности независимо от ориентации поляризатора; и в отличие от циркулярно поляризованного света, его нельзя сделать линейно поляризованным с любой волновой пластиной, потому что случайно волновая поляризация возникнет из волновой пластины со случайной ориентацией. Действительно, неполяризованный свет не может быть описан как любое состояние формы$\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$в определенном смысле. Однако неполяризованный свет можно описать средними по ансамблю, например, что каждый фотон$|R\rangle$ с $50\%$ вероятность или $|L\rangle$ с $50\%$вероятность. Такое же поведение произошло бы, если бы каждый фотон был вертикально поляризован$50\%$ вероятность или горизонтально поляризован с $50\%$ вероятность.

Следовательно, неполяризованный свет не может быть описан каким-либо чистым состоянием, но может быть описан как статистический ансамбль чистых состояний по крайней мере двумя способами (ансамбль наполовину левой и наполовину правой круговой поляризации или ансамбль наполовину вертикально и наполовину горизонтально линейно поляризованный). ). Эти два ансамбля экспериментально совершенно неразличимы, и поэтому они считаются одним и тем же смешанным состоянием. Одно из преимуществ матрицы плотности состоит в том, что для каждого смешанного состояния существует только одна матрица плотности, тогда как для каждого смешанного состояния имеется множество статистических ансамблей чистых состояний. Тем не менее, матрица плотности содержит всю информацию, необходимую для вычисления любого измеримого свойства смешанного состояния.

Откуда берутся смешанные государства? Чтобы ответить на это, рассмотрим, как генерировать неполяризованный свет. Одним из способов является использование системы в тепловом равновесии , статистической смеси огромного числа микросостояний , каждое с определенной вероятностью ( фактор Больцмана ), быстро переключающихся из одного в другое из-за тепловых флуктуаций . Тепловая случайность объясняет, почему лампа накаливания , например, излучает неполяризованный свет. Второй способ генерировать неполяризованный свет - это ввести неопределенность в подготовку системы, например, пропуская ее через двулучепреломляющий кристалл.с шероховатой поверхностью, так что несколько разные части луча приобретают различные поляризации. Третий способ генерирования неполяризованного света использует установку EPR: радиоактивный распад может испускать два фотона, движущихся в противоположных направлениях, в квантовом состоянии.$\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$, Два фотона вместе находятся в чистом состоянии, но если вы смотрите только на один из фотонов и игнорируете другой, фотон ведет себя так же, как неполяризованный свет.

В более общем случае смешанные состояния обычно возникают из статистической смеси начального состояния (например, в тепловом равновесии), из-за неопределенности в процедуре подготовки (например, слегка отличающиеся пути, по которым может идти фотон), или из-за взгляда на подсистему, запутанную в что-то другое.

Получение матрицы плотности ^[2] :

Как упоминалось ранее, система может находиться в статистическом ансамбле разных векторов состояний. Скажи, что есть$p_1$ вероятность того, что вектор состояния $|\psi_1\rangle$ а также $p_2$ вероятность того, что вектор состояния $|\psi_2\rangle$ являются соответствующими классическими вероятностями каждого готовящегося состояния.

Скажем, теперь мы хотим найти ожидаемое значение оператора$\hat{O}$, Это дано как:

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$$

Обратите внимание, что $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ а также $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$скаляры, и след скаляров тоже скаляры. Таким образом, мы можем написать вышеприведенное выражение как:

$$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$$

Now, using the cyclic invariance and linearity properties of the trace:

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$$

$$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$$

where $\rho$ is what we call the density matrix. The density operator contains all the information needed to calculate an expectation value for the experiment.

Thus, basically the density matrix $\rho$ is

$$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$$ in this case.

You can obviously extrapolate this logic for when more than just two state vectors are possible for a system, with different probabilities.

Calculating the density matrix:

Let's take an example, as follows.

In the above image, the incandescent light bulb $1$ emits completely random polarized photons $2$ with mixed state density matrix.

As mentioned before, an unpolarized light can be explained with an ensemble average i.e. say each photon is either $|R\rangle$ or $|L\rangle$ with $50%$ probability for each. Another possible ensemble average is: each photon is either $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ or $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ with $50\%$ probability for each. There are lots of other possibilities too. Try to come up with some yourself. The point to note is that the density matrix for all these possible ensembles will be exactly the same. And this is exactly the reason why density matrix decomposition into pure states is not unique. Let's check:

Case 1: $50\%$ $|R\rangle$ & $50\%$ $|L\rangle$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$$

Now, in the basis $\{|R\rangle, |L\rangle\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$

Case 2: $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ & $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$ Thus, we can clearly see that we get the same density matrices in both case 1 and case 2.

However, after passing through the vertical plane polarizer (3), the remaining photons are all vertically polarized (4) and have pure state density matrix:

$$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$, $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

The single qubit case:

If your system contains just a single qubit and you're know that its state $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ (where $|\alpha|^2+|\beta|^2$) then you are already sure that the 1-qubit system has the state $|\psi\rangle$ with probability $1$!

In this case, the density matrix will simply be:

$$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$$

If you're using the orthonormal basis $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$,

the density matrix will simply be:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

This is very similar to 'case 2' above, so I didn't show the calculations. You can ask questions in the comments if this portion seems unclear.

However, you could also use the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis as @DaftWullie did in their answer.

In the general case for a 1-qubit state, the density matrix, in the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis would be:

$$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$. This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$.
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

---

Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

Image Credits:

User Kaidor on Wikimedia