Квантовая конструкция ворот XNOR

Сначала попробовал спросить здесь , поскольку на этом сайте был задан похожий вопрос. Кажется более актуальным для этого сайта, однако.

Насколько я понимаю, квантовые ворота XOR - это ворота CNOT. Является ли квантовый шлюз XNOR шлюзом CCNOT?

Любая классическая однобитная функция где - это битный вход, а - это битный выход. записывается как обратимое вычисление, (обратите внимание, что любая функция из выходов может быть записана как просто отдельных 1-битных функций.)x ∈ { 0 , 1 } n n y ∈ { 0 , 1 } n f r : ( x , y ) ↦ ( x , y ⊕ f ( x ) ) m $f:x\mapsto y$$x\in\{0,1\}^n$$n$$y\in\{0,1\}$$n$

$$f_r:(x,y)\mapsto (x,y\oplus f(x))$$ $m$$m$

Реализующие это квантовые врата - это просто квантовые врата, соответствующие оценке обратимой функции. Если вы просто выписываете таблицу истинности функции, каждая строка соответствует строке унитарной матрицы, а в выводе указывается, какая запись столбца содержит 1 (все остальные записи содержат 0).

В случае XNOR у нас есть стандартная таблица истинности и таблица истинности обратимой функции Таким образом, унитарная матрица U=( 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

$$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} (x,y) & (x,y\oplus f(x)) \\ \hline 000 & 001 \\ 001 & 000 \\ 010 & 010 \\ 011 & 011 \\ 100 & 100 \\ 101 & 101 \\ 110 & 111 \\ 111 & 110 \end{array}$$ $$U=\left(\begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right).$$ Это может быть легко разложено в терминах пары управляемых, а не нескольких ворот.

Метод, который я только что обрисовал в общих чертах, дает вам очень безопасный способ создания конструкции, которая работает для любого , но он не полностью восстанавливает соответствие между XOR и Control-Not. Для этого нам нужно немного больше предположить о свойствах функции .$f(x)$$f(x)$

Предположим , что мы можем разложить входной в , такие , что и такое , что при всех значениях , то значения различны для каждого . В этом случае мы можем определить оценку обратимой функции какЭто означает, что мы используем на 1 бит меньше, чем в предыдущей конструкции, но с этого момента технику можно повторить.$x$$a,b$$a\in\{0,1\}^{n-1}$$b\in \{0,1\}$$a$$f(a,b)$$b$

$$f:(a,b)\mapsto(a,f(a,b)).$$

Итак, давайте вернемся к таблице истинности для XNOR. Мы можем видеть, что например, когда мы фиксируем , два выхода равны , следовательно, различаются. Аналогично для фиксации . Таким образом, мы можем приступить к построению обратимой функции и это дает нам унитарную a 1 )cNOT⋅(1⊗X

$$\begin{array}{c|c} ab & f(a,b) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array}$$ $a=0$$1,0$$a=1$ $$\begin{array}{c|c} ab & af(a,b) \\ \hline 00 & 01 \\ 01 & 00 \\ 10 & 10 \\ 11 & 11 \end{array}$$ $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $\text{cNOT}\cdot(\mathbb{1}\otimes X)$

Квантовый XNOR не является CCNOT. CCNOT будет принимать 3 бита в качестве входа, тогда как XOR, XNOR и CNOT принимают только 2 бита или кубита в качестве ввода.

Причина , почему мы говорим , что XOR можно рассматривать как CNOT объясняется здесь , и те же рассуждения могут быть использованы для построения (2 кубита) XNOR.