Полином Джонс

12

Существует много довольно стандартных квантовых алгоритмов, которые можно понять в очень похожих рамках: от алгоритма Дойча Саймона, поиска Гровера, алгоритма Шора и так далее.

Один алгоритм, который кажется совершенно другим, - это алгоритм оценки полинома Джонса . Более того, кажется, что это ключевой алгоритм для понимания в том смысле, что это проблема, полная BQP : он демонстрирует всю мощь квантового компьютера. Кроме того, для варианта задачи он завершен с DQC-1 , то есть обладает полной мощностью одного чистого кубита .

В статье, посвященной полиномиальному алгоритму Джонса, алгоритм представлен совершенно иначе, чем другие квантовые алгоритмы. Есть ли более похожий / знакомый способ, которым я могу понять алгоритм (в частности, унитарный в варианте DQC-1 или просто вся схема в BQP-полном варианте)? $U$

algorithm circuit-construction bqp

— DaftWullie
источник

5

Этот ответ является более или менее кратким изложением статьи Ааронова-Джонса-Ландау, на которую вы ссылались, но со всем, что не имеет прямого отношения к определению алгоритма. Надеюсь, это полезно.

Алгоритм Ааронова-Джонса-Ландау аппроксимирует многочлен Джонса замыкания плат косы в м корне единицы, реализуя его как (некоторый перемасштабирование) матричного элемента некоторой унитарной матрицы , изображения при некотором унитарном представлении группы кос . Учитывая реализацию в качестве квантового контура, аппроксимация его матричных элементов является простым, используя тест Адамара . Нетривиальная часть аппроксимирует как квантовую цепь. $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

Если - коса на нитях с пересечениями, мы можем написать , где , $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ , и является генератором , что соответствует пересекая - й нити над ст. Достаточно описать , так как . $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

Чтобы определить , сначала дадим некоторое подмножество стандартного базиса на котором действует нетривиально. Для , пусть . Давайте позвоним $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ допустимо, если для всех . (Это соответствует описывающему путь длины на графе определенном в статье AJL.) Пусть $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$ Пусть(это опечатка в статье AJL; также обратите внимание, что здесь и только здесь

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

не является индексом

). Написать

, где

первый

бит

, и пусть

. Тогда

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

Определим

для не-допустимые базисные элементы

.

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

$U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

Итак, резюмируем:

$\sigma \in B_{2n}$ $m$
$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
$i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
$U_{\sigma}$
$\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
$\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— Эван Дженкинс
источник

2

Вы упомянули пять статей в этом вопросе, но одна из них, которая не упоминается, - это экспериментальная реализация в 2009 году . Здесь вы найдете фактическую схему, которая использовалась для оценки полинома Джонса:

Это может быть ближе всего к «более знакомому» представлению алгоритма, так как интерес к полиному Джонса и к DQC-1 немного ослаб с 2009 года.

Более подробную информацию об этом эксперименте можно найти в диссертации Джины Пассанте .

— user1271772
источник

1

U_{n}

$U_n$

Пожалуйста. Да, это был 4-страничный PRL с деталями, которые не были объяснены так тщательно, как мне хотелось бы - возможно, на веб-странице журнала есть «Дополнительный материал», который лучше объясняет U. Полином Джонс и DQC-1 были популярны примерно в 2008-2009 годах, но с тех пор я перестал слышать об этом.

— user1271772