Я изучаю квантовые вычисления и информацию. Я пересек фразу «Поверхностный код», но не могу найти краткое объяснение, что это такое и как это работает. Надеюсь, вы, ребята, можете помочь мне с этим.

Примечание. Если вам нравится использовать сложную математику, я в некоторой степени знаком с квантовой механикой.

Поверхностные коды представляют собой семейство квантовых кодов, исправляющих ошибки, определенных на двумерной решетке кубитов. Каждый код в этом семействе имеет стабилизаторы, которые эквивалентно определены в объеме, но отличаются друг от друга своими граничными условиями.

Члены семейства кодов поверхности иногда также описываются более конкретными именами: торический код - это код поверхности с периодическими граничными условиями, планарный код - это код, определенный на плоскости и т. Д. Иногда также используется термин «код поверхности». взаимозаменяемо с «плоским кодом», поскольку это наиболее реалистичный пример семейства кодов поверхности.

Поверхностные коды в настоящее время являются большой областью исследований, поэтому я просто укажу на некоторые хорошие точки входа (в дополнение к статье в Википедии, ссылки на которую приведены выше).

• Топологическая квантовая память (статья)

• Поверхностные коды: к практическим крупномасштабным квантовым вычислениям (статья)

• Моя серия блогов, представляющих коды поверхности

Поверхностные коды также могут быть обобщены на квитты. Подробнее об этом смотрите здесь .

Терминология «поверхностного кода» является немного переменной. Это может относиться к целому классу вещей, вариантам кода Торика на разных решетках или к плоскому коду, конкретному варианту на квадратной решетке с открытыми граничными условиями.

Торический код

Я кратко изложу некоторые основные свойства кода Toric. Представьте квадратную решетку с периодическими граничными условиями, т.е. верхний край соединен с нижним, а левый - с правым. Если вы попробуете это с листом бумаги, вы обнаружите, что вы получите форму пончика или торуса. На этой решетке мы размещаем кубит на каждом ребре квадрата.

Стабилизаторы

Далее мы определим целую кучу операторов. Для каждого квадрата на решетке (состоящего из 4 кубитов в середине каждого ребра), мы пишем действуя вращением Паули- Х на каждом из 4 кубитов. Метка p относится к «плакетке» и является просто индексом, поэтому мы можем позже сосчитать весь набор плакеток. На каждой вершине решетки ( в окружении 4 кубитов), определим s = Z Z Z Z . s относится к форме звезды и, опять же, подведем итоги по всем таким терминам.

$$B_p=XXXX,$$ $X$$p$ $$A_s=ZZZZ.$$ $s$

Мы видим, что все эти термины взаимно коммутируют. Это тривиально для потому что операторы Паули коммутируют с собой и со мной . Требуется больше внимания при [ A s , B p ] = 0 , обратите внимание, что эти два члена имеют либо 0, либо 2 общих узла, и пары различных операторов Паули коммутируют, [ X X , Z Z ] = $[A_s,A_{s'}]=[B_p,B_{p'}]=0$$\mathbb{I}$$[A_s,B_p]=0$$[XX,ZZ]=0$,

Codespace

Поскольку все эти операторы коммутируют, мы можем определить одновременное собственное состояние их всех, состояние такие , что ∀ s : s | г | ⟩ = | г | $|\psi\rangle$ Это определяет кодовое пространство кода. Мы должны определить, насколько он большой.

$$\forall s:A_s|\psi\rangle=|\psi\rangle\qquad\forall p:B_p|\psi\rangle=|\psi\rangle.$$

Для решетки существует N 2 кубитов, поэтому размерность гильбертова пространства равна 2 N 2 . Есть N 2 слагаемых A s или B p , которые мы вместе называем стабилизаторами. Каждое из них имеет собственные значения ± 1 (чтобы увидеть, просто обратите внимание, что A 2 s = B 2 p = I ) в равном количестве, и когда мы объединяем их, каждое делит пополам размерность гильбертова пространства, т.е. мы думаем, что это однозначно определяет государство.$N\times N$$N^2$$2^{N^2}$$N^2$$A_s$$B_p$$\pm 1$$A_s^2=B_p^2=\mathbb{I}$

$\prod_sA_s=\prod_pB_p=\mathbb{I}$$A_s$$B_p$

Логические Операторы

$X_{1,L}$$Z_{1,L}$$X_{2,L}$$Z_{2,L}$

$$[X_{1,L},X_{2,L}]=0\quad [X_{1,L},Z_{2,L}]=0 \quad [Z_{1,L},Z_{2,L}]=0\quad [Z_{1,L},X_{2,L}]=0$$ and anti-commutation of the two on each qubit: $$\{X_{1,L},Z_{1,L}\}=0\qquad\{X_{2,L},Z_{2,L}\}=0$$

There's a couple of different conventions for how to label the different operators. I'll go with my favourite (which is probably the less popular):

• Take a horizontal line on the lattice. On every qubit, apply $Z$. This is $Z_{1,L}$. In fact, any horizontal line is just as good.

• Take a vertical line on the lattice. On every qubit, apply $Z$. This is $X_{2,L}$ (the other convention would label it as $Z_{2,L}$)

• Take a horizontal strip of qubits, each of which is in the middle of a vertical edge. On every qubit, apply $X$. This is $Z_{2,L}$.

• Take a vertical strip of qubits, each of which is in the middle of a horizontal edge. On every qubit, apply $X$. This is $X_{1,L}$.

You'll see that the operators that are supposed to anti-commute meet at exactly one site, with an $X$ and a $Z$.

Ultimately, we define the logical basis states of the code by

$$|\psi_{x,y}\rangle: Z_{1,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^x|\psi_{x,y}\rangle,\qquad Z_{2,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^y|\psi_{x,y}\rangle$$

The distance of the code is $N$ because the shortest sequence of single-qubit operators that converts between two logical states constitutes $N$ Pauli operators on a loop around the torus.

Error Detection and Correction

Once you have a code, with some qubits stored in the codespace, you want to keep it there. To achieve this, we need error correction. Each round of error correction comprises measuring the value of every stabilizer. Each $A_s$ and $B_p$ gives an answer $\pm 1$. This is your error syndrome. It is then up to you, depending on what error model you think applies to your system, to determine where you think the errors have occurred, and try to fix them. There's a lot of work going on into fast decoders that can perform this classical computation as efficiently as possible.

One crucial feature of the Toric code is that you do not have to identify exactly where an error has occurred to perfectly correct it; the code is degenerate. The only relevant thing is that you get rid of the errors without implementing a logical gate. For example, the green line in the figure is one of the basic errors in the system, called an anyone pair. If the sequence of $X$ rotations depicted had been enacted, than the stabilizers on the two squares with the green blobs in would have given a $-1$ answer, while all others give $+1$. To correct for this, we could apply $X$ along exactly the path where the errors happened, although our error syndrome certainly doesn't give us the path information. There are many other paths of $X$ errors that would give the same syndrome. We can implement any of these, and there are two options. Either, the overall sequence of $X$ rotations forms a trivial path, or one that loops around the torus in at least on direction. If it's a trivial path (i.e. one that forms a closed path that does not loop around the torus), then we have successfully corrected the error. This is at the heart of the topological nature of the code; many paths are equivalent, and it all comes down to whether or not these loops around the torus have been completed.

Error Correcting Threshold

While the distance of the code is $N$, it is not the case that every combination of $N$ errors causes a logical error. Indeed, the vast majority of $N$ errors can be corrected. It is only once the errors become of much higher density that error correction fails. There are interesting proofs that make connections to phase transitions or the random bond Ising model, that are very good at pinning down when that is. For example, if you take an error model where $X$ and $Z$ errors occur independently at random on each qubit with probability $p$, the threshold is about $p=0.11$, i.e. $11\%$. It also has a finite fault-tolerant threshold (where you allow for faulty measurements and corrections with some per-qubit error rate)

The Planar Code

Details are largerly identical to the Toric code, except that the boundary conditions of the lattice are open instead of periodic. This mens that, at the edges, the stabilizers get defined slightly differently. In this case, there is only one logical qubit in the code instead of two.