В чем разница между «кодовым пространством», «кодовым словом» и «кодом стабилизатора»?

Я продолжаю читать (например, Nielsen and Chuang, 2010; стр. 456 и 465) следующие три этапа; «кодовое пространство», «кодовое слово» и «код стабилизатора» - но мне сложно найти их определения и, что более важно, чем они отличаются друг от друга.

Мой вопрос поэтому; как определяются эти три термина и как они связаны?

— Квантовая спагеттификация
источник

Кодовые пространства и кодовые слова

Квантовый код с исправлением ошибок часто отождествляется с кодовым пространством (Nielsen & Chuang определенно, похоже, так и делают). Кодовое пространство из , например , в -qubit коды коррекции ошибок квантовых есть векторное подпространство . $\mathcal C$ $n$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

Кодовое слово (терминология , которая была заимствована из классической теории коррекции ошибок) является состоянием для некоторого кодового пространства: то есть, это состояние , которое кодирует некоторые данные. $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

Квантовые коды с исправлением ошибок

На практике мы требуем некоторых нетривиальных свойств для хранения кода квантовой коррекции ошибок, таких как:

$\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
Что существует множество по крайней мере двух операторов, включая оператор , такое, что - если является ортогональным проектором на - мы имеем для некоторых скаляров (известных как условия Книла-Лафламма ). $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

Это определяет некоторый набор операторов ошибок, от которых вы в принципе можете защитить состояние , в том случае, если выполняются условия Книла-Лафламма для набора операторов и некоторого оператора влияет на ваше состояние, в принципе возможно обнаружить факт возникновения (в отличие от какого-либо другого оператора в ) и отменить ошибку, не нарушая данные, сохраненные в исходном состоянии . $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

Код коррекции Квантового ошибка является код пространства , вместе с набором операторов ошибок , которые удовлетворяют условия Knill-Лафламм - то есть, квантовый код исправления ошибок , необходимо указать , какие ошибки она предназначена для защиты от , $\mathcal C$ $\mathcal E$

Почему часто идентифицируют квантовые коды с исправлением ошибок по их кодовым пространствам

Вы не можете определить уникальный набор операторов, удовлетворяющих условиям Knill-Лафламм из кодового пространства в одиночку. Однако чаще всего считают, какие операторы с малым весом (те, которые действуют только на небольшое количество кубитов) могут быть одновременно исправлены с помощью кода, и в некоторой степени это может быть получено только из кодового пространства. Кодовое расстояние кодового пространства является наименьшим числом кубитов , что вы должны действовать дальше, чтобы преобразовать один «кодовое слово» в отличие кодовое слово . Если мы тогда опишем кодовое пространство как $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ $[\![n,k,d]\!]$ код, это то говорит , что имеет размерность , и что множество , что мы считаем , является множество всех операторов Паули с весом не более . $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

В некоторых случаях достаточно описать код как Код. Например, 5-кубитный код является кодом , И можно показать, что пять кубитов не могут кодировать один кубит таким образом, что любые другие ошибки могут быть исправлены в дополнение ко всем ошибкам одного кубита. Однако это не относится к коду Steane , может защитить от любой ошибки Паули в одном кубе, а также от некоторых (но не всех) ошибок Паули в . Какие два-кубитные ошибки Паули вы должны $[\![n,k,d]\!]$ $[\![5,1,3]\!]$ $[\![7,1,3]\!]$ защита от зависит от вашей модели ошибок; и если ваш шум симметричен и независимо распределен, то, что вы выберете, не будет иметь большого значения (так что вы, вероятно, сделаете обычный выбор любой отдельной ошибки вместе с любой отдельной ошибкой ). Это, однако, выбор , который поможет вам защитить ваши данные от шума. $X$ $Z$

Коды стабилизатора

Код стабилизатор представляет собой код с исправлением квантовой ошибки определяется набором из стабилизатора генераторов , которые являются операторы Паули , которые коммутируют друг с другом, и которые определяют код-пространство на пересечении их + 1-подпространств. (Часто полезно рассмотреть группу стабилизаторов образованную продуктами ) $\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

Почти все коды квантовой коррекции ошибок, которые люди рассматривают на практике, являются кодами стабилизатора. Это одна из причин, почему у вас могут возникнуть проблемы при различении этих двух терминов. Однако мы не требуем, чтобы код квантовой коррекции ошибок был кодом стабилизатора - так же, как в принципе, мы не требуем, чтобы классический код коррекции ошибок был линейным кодом. Стабилизирующие коды просто оказались чрезвычайно успешным способом описания квантовых кодов с исправлением ошибок, так же как линейные коды с исправлением ошибок являются чрезвычайно успешным способом описания классических кодов с исправлением ошибок. И действительно, коды стабилизатора можно рассматривать как естественное обобщение теории классических линейных кодов на квантовую коррекцию ошибок.

Поскольку людей часто интересуют только операторы с небольшим весом, которые составляют менее половины кодового расстояния, набор стабилизаторов часто все говорят о коде коррекции стабилизатора. Однако, чтобы указать набор ошибок от которых может защищать код, необходимо также указать отношение между операторами продукта Паули и подмножествами , так что $\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

$E$ антикоммутирует с тогда и только тогда, когда для ; $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
Если оба удовлетворяют и , то . $E, E'$ $\sigma(E,S)$ $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

Это определяет набор ошибок, от которых может защитить код. Подмножества называются синдромами ошибок , а отношение, которое я назвал здесь (которое вы обычно не видите при явном имени), связывает синдромы с одной или несколькими ошибками, которые «вызывают» этот синдром и чье влияние на код эквивалентны.

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

«Синдромы» представляют информацию, которая может фактически быть получена об ошибке «когерентным измерением», то есть измерением операторов как наблюдаемых (процесс, который обычно моделируется оценкой собственного значения). Ошибка 'вызывает' синдром если для любого кодового слова состояние находится в пространстве всех значений операторы , а в -подпространство всех других операторов в . (Это свойство напрямую связано с антикоммутацией со всеми элементами $P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ , и только эти элементы.)

— Ниль де Бодрап
источник

Во втором абзаце вы говорите, что кодовое слово - это состояние в то есть состояние, которое кодирует некоторые данные. Вы говорите то, что, кажется, говорят другие ответы - то есть кодовые слова - это те состояния, которые мы ассоциируем, например, с логическими и . Или что в целом любое состояние в называется кодовым словом?

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

— Квантовое спагеттификация

Терминология может немного отличаться. Например, вы читаете тезис Готтесмана, и он говорит о кодовом слове, являющемся любым допустимым состоянием в кодовом пространстве, и он различает «

— базовые

@QuantumSpaghettification: как предполагает DaftWullie, я имею в виду любое состояние в . Очень часто ошибочно быть слишком озабоченным стандартной основой. Исторически проще всего было описать QECC со ссылкой на диапазон двух конкретных состояний и описать корректирующие свойства в терминах этих двух состояний. Теория кодов стабилизатора делает такого рода описание ненужным и позволяет вам быть гибким с тем, что такое логическая система отсчета, поэтому сейчас лучше избегать определения вещей таким образом, который подчеркивает стандартную основу.

C

$\mathcal C$

— Ниль де Бёдрап,

@NieldeBeaudrap Извините, что вернулся к этому посту через месяц. Правильно ли я сказал, что отображение может быть однозначным, если влияние ошибки на «базовые кодовые слова» вырождено. Я думаю, что фаза переворачивается на код Шора.

μ

$\mu$

— Квантовая спагеттификация

@QuantumSpaghettification: Поскольку я описал это здесь, на самом деле было бы необходимо принять для многозначности для set чтобы выполнить работу, которую я для него описал, для вырожденного кода --- который не совсем то, что я хотел. Я пересмотрю свой ответ в ближайшее время.

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

— Ниль де Бодрап

Кодовое слово (для квантового кода) - это квантовое состояние, которое обычно связано с состоянием в логической основе. Таким образом, у вас будет некоторое состояние которое соответствует состоянию 0 кубита, который нужно закодировать (вам не нужно использовать кубиты, но, вероятно, так оно и есть), и у вас будет другое, которое который соответствует состоянию 1 кубита, который должен быть закодирован. $|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

Кодовое пространство - это пространство, охватываемое кодовыми словами, т.е. все пространство для всех возможных и (нормализовано). $\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

Стабилизирующий код - это один из возможных формализмов, объясняющий, как работать с кодовыми словами и, следовательно, с пространством кода. Для кода [[n, k, d]] вам дается nk стабилизирующих операторов ( ), которые взаимно коммутируют и действуют на n кубитов. Любое состояние в пространстве кода удовлетворяет условию . Кроме того, у вас будут операторы и для которые все коммутируют со стабилизаторами но попарно антикоммутируют, , для соответствующих индексов. Они определяют логические операторы Паули для кода, и поэтому кодовые слова являются состояниями, которые удовлетворяют $S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$ .

— DaftWullie
источник

В коде с исправлением квантовых ошибок вы храните несколько логических кубитов, , в состоянии многих физических кубитов, . $k$ $n$

Кодовое слово - это состояние физических кубитов, которое связано с конкретным логическим состоянием. Так, например, однако, вы сохраняете состояние для одного из ваших логических кубитов - это кодовое слово. $|0\rangle$

Кодовое пространство - это гильбертово пространство, охватываемое всеми возможными кодовыми словами. Для кода стабилизатора этот термин является синонимом пространства стабилизатора. Любое состояние в этом кодовом пространстве является кодовым словом

Код стабилизатора - это код с квантовой коррекцией ошибок, описываемый формализмом стабилизатора. Пространство стабилизатора определяется как взаимное собственное пространство взаимно коммутирующих и независимых тензорных произведений операторов Паули. $+1$ $n-k$

— Джеймс Вуттон
источник