Какое минимальное целочисленное значение имеет смысл сделать квантовую факторизацию?

Предположим, что у нас есть квантовые и классические компьютеры, такие, что экспериментально каждая элементарная логическая операция математической факторизации одинаково затратна по времени в классической и в квантовой факторизации: что является наименьшим целочисленным значением, для которого квантовый процесс быстрее классического один?

Квантовая часть алгоритма Шора, по сути, представляет собой единичное модульное возведение в степень, выполненное в суперпозиции, с последующим преобразованием Фурье и затем измерением. Модульное возведение в степень является безусловно самой дорогой частью.

Предположим, что [...] каждая элементарная логическая операция математической факторизации одинаково затратна по времени в классической и в квантовой факторизации

Если предположить, что модульное возведение в степень занимает ровно столько же времени на квантовом компьютере, сколько на классическом компьютере, то переход, когда квантовые вычисления стали лучше, произойдет при очень малом числе. Вычисление модульных возведений в степень очень быстро, классически, потому что вы можете использовать повторное возведение в квадрат. Я бы дико оценил кроссовер даже до того, как вы дойдете до 30-битных чисел (чисел более миллиарда).

Но квантовые компьютеры не собираются заниматься математикой так же быстро, как классические компьютеры . Например, на моем ноутбуке я могу сделать 1000-битное модульное возведение в степень в python за доли секунды. Но на предсказуемых квантовых компьютерах это заняло бы часы или дни. Проблема заключается в огромной ( огромной ) разнице в стоимости логических элементов AND.

$|T\rangle$

Итак, предположим, что мы получаем миллион T состояний в секунду, и мы хотим преобразовать это в скорость 64-битных сложений для сравнения с классической машиной. Для 64-битного сложения требуется 64 логических элемента И, для каждого из которых требуется 4 Т. 1 миллион, разделенный на 4, разделенный на 64, дает ... около 4 кГц. Для контраста классическая машина легко сделает миллиард дополнений в секунду. Квантовые сумматоры в миллион раз медленнее, чем классические сумматоры (опять же, дикая оценка, и имейте в виду, что это число должно улучшаться со временем).

Другой фактор, который стоит учитывать, - это разная стоимость квантовых и классических компьютеров. Если у вас есть сто миллионов долларов, и вы выбираете между одним квантовым компьютером и тысячей классических компьютеров, этот коэффициент 1000 должен быть учтен. В этом смысле мы могли бы сказать, что квантовые сумматоры в миллиард раз менее эффективны, чем классические сумматоры (в FLOPS / $).

Постоянный факторный штраф в миллиард обычно является немедленным нарушением условий сделки. И для квантовых алгоритмов с простым квадратичным преимуществом (таких как Гровер), я утверждаю, что это фактически нарушитель соглашения. Но алгоритм Шора экспоненциально улучшается по сравнению с классической стратегией, когда вы увеличиваете число битов в числе для вычисления коэффициента. Сколько битов, прежде чем мы съедим эту «жалкую» константу 10 ^ 9 с нашим экспоненциальным ростом в преимуществе?

Учтите, что RSA-640 был учтен в 2005 году, используя ~ 33 года процессора. Квантовый компьютер должен быть в состоянии сделать это число менее чем за день. Если у вас есть тысяча классических компьютеров, работающих над этой проблемой, они закончат работу примерно через две недели. Таким образом, кажется, что квант выигрывает на 640 битах, но только на порядок или три. Так, может быть, отсечка произойдет где-то около 500 бит?

В любом случае, я знаю, что это не сложный и быстрый ответ. Но, надеюсь, я передал некоторое количество величин, о которых подумал бы при сравнении классического и квантового. На самом деле никто еще не знает постоянных факторов, поэтому я был бы удивлен, если бы кто-то мог дать вам правильную оценку лучше, чем «где-то в сотнях бит».

Как я упоминал в комментариях, очень точный ответ, вероятно, будет зависеть от множества технических решений, которые являются несколько произвольными. Вероятно, более важно получить оценку по порядку величины и учесть как можно больше при ее создании.

Этот ответ задуман не как окончательный ответ, а как шаг в правильном направлении со ссылкой на существующую литературу (хотя по общему признанию уже более десяти лет), а именно:

• Ван Метер, Ито и Лэдд. Архитектурно-зависимое время выполнения алгоритма Шора . Proc. Мезоскопическая сверхпроводимость + спинтроника 2006; [ arXiv: Quant-Ph / 0507023 ]

Ван Метер, Ито и Лэдд пытаются сравнить производительность алгоритма Шора с доступной вычислительной технологией, выполняющей сито числового поля (самый известный классический алгоритм для факторизации). У меня не было времени, чтобы разобраться в деталях этого документа - вероятно, можно получить превосходный ответ, но рисунок 1 этой статьи позволяет нам сделать разумную численную оценку:

Здесь крутые кривые представляют время вычислений классических вычислительных сетей. Кривая, обозначенная «NFS, 104 ПК, 2003», по-видимому, указывает на вычисления (и предполагаемое время вычислений) для ста четырех персональных компьютеров около 2003 года, о чем сообщила RSA Security Inc. в 2004 году [ http: //www.rsasecurity. com / rsalabs / node.asp? id = 2096] .

$n$$n \cdot v$$v$$2 \times 10^{11}$операций в секунду. Гипотетический сравнительный анализ алгоритма Шора должен быть сделан на квантовом компьютере, работающем с сопоставимой тактовой частотой.

$10^9$

• Несмотря на преимущество операций в секунду в 200 и более раз, график действительно показывает, когда эта классическая реализация NFS с частотой 200 ГГц превосходит квантовый компьютер с частотой 1 ГГц, выполняющий алгоритм Шора (примерно с 200-значными числами), и квантовый компьютер с частотой 1 МГц ( около 330 цифр).
• У нас также есть кривая, проецирующая производительность «в 2018 году», которая в 1000 раз превышает классическую вычислительную мощность: перехваты с квантовыми компьютерами с тактовой частотой 1 ГГц и 1 МГц имеют 350-битные числа и 530-битные числа.

Увеличение точек пересечения по сравнению с квантовыми вычислениями, от расчета в 2003 году до прогнозируемого в 2018 году, представляющего увеличение тактовой частоты в 1000 раз, составляет примерно 5/3. Исходя из этого, мы можем оценить, что вычислительное преимущество по сравнению с размером чисел, которое может быть быстро решено классическим компьютером, благодаря увеличению скорости в 200 раз, составляет примерно 7/6. Затем мы можем оценить, что точка пересечения одного классического компьютера с тактовой частотой 1 ГГц, выполняющего NFS, с квантовым компьютером с тактовой частотой 1 ГГц, выполняющим алгоритм Шора, составляет около 170 битных чисел.

Итог - точный ответ будет зависеть от многих технических предположений, которые могут существенно изменить точный результат, поэтому лучше искать приблизительную оценку. Но этот вопрос был исследован, по крайней мере, один раз, и, сделав несколько предположений и экстраполяций на производительность, основанную на классической производительности в 2003 году, кажется, что алгоритмы Шора превзойдут самый известный классический алгоритм на основе операций за числами около 170 бит.