Значение церкви Высшего Гильбертова пространства

16

Термин « Церковь Высшего Гильбертова пространства » часто используется в квантовой информации при анализе квантовых каналов и квантовых состояний.

Что означает этот термин (или, альтернативно, что означает термин «посещение церкви высшего гильбертова пространства»)?

— user3483902
источник

6

Можете ли вы опубликовать ссылку для некоторого контекста? Где вы прочитали этот термин? Благодарю.

— Андрей О

21

Церковь большего (или более высокого, или большего) гильбертова пространства - это всего лишь уловка, которую некоторые люди (включая меня) любят переписывать в некоторых операциях.

Наиболее общие операции, которые вы можете записать для системы, описываются полностью положительными картами, в то время как нам нравится описывать вещи с помощью унитарных элементов, которые вы всегда можете сделать, переместившись из исходного гильбертова пространства в большее (т.е. добавив больше кубитов). Аналогично, для измерений вы можете превратить общие измерения в проективные измерения, увеличив размер гильбертова пространства. Кроме того, смешанные состояния могут быть описаны как чистые состояния большей системы.

пример

$1-p$ $p$ $X$

| ψ ⟩ ⟨ ψ | \mapsto (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X

$|\psi\rangle\langle\psi|\mapsto (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X$

\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩

$\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle$

| ψ ⟩ (\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩) \mapsto | Ψ ⟩ = \sqrt{1 - p} | ψ ⟩ | 0 ⟩ + \sqrt{p} (X | ψ ⟩) | 1 ⟩ .

$|\psi\rangle(\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle)\mapsto|\Psi\rangle=\sqrt{1-p}|\psi\rangle|0\rangle+\sqrt{p}\left(X|\psi\rangle\right)|1\rangle.$

ρ = {T r}_{2} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X .

$\rho={\rm Tr}_2\left(|\Psi\rangle\langle\Psi|\right)= (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X.$ In other words, you just ignore the existence of the new qubit after you’ve implemented the unitary! Note that as well as demonstrating the church of the larger Hilbert space for operations, this also demonstrates it for states - the mixed state

ρ

$\rho$ can be made into the pure state

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ by increasing the size of the Hilbert space.

— DaftWullie
источник

5

"Church of the higher hilbert space" is a term coined by John Smolin. According to quantiki it is:

for the dilation constructions of channels and states, which [...] provide a neat characterization of the set of permissible quantum operations

and to quote wikipedia, it:

describe[s] the habit of regarding every mixed state of a quantum system as a pure entangled state of a larger system, and every irreversible evolution as a reversible (unitary) evolution of a larger system.