Цель использования Fidelity в рандомизированном бенчмаркинге

Часто при сравнении двух матриц плотности, и (например, когда является экспериментальной реализацией идеальной ), близость этих двух состояний определяется точностью квантового состояния с неверностью, определенной как . $\rho$ $\sigma$ $\rho$ $\sigma$

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$

1 - F

$1-F$

Аналогично, при сравнении того, насколько близка реализация гейта с идеальной версией, точность становится где - мера Хаара над чистыми состояниями. Неудивительно, что работать с ним может быть относительно неприятно.

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$

d ψ

$d\psi$

Теперь давайте определим матрицу $M = \rho - \sigma$ в случае матриц плотности или $M = U - \tilde U$ при работе с вентилями. Тогда нормы Шаттена ¹ , такие как $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ , $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$ , или другие нормы, такие как алмазная норма, могут быть вычислены.

Эти нормы часто легче вычислить ^2, чем приведенная выше верность. Что еще хуже, так это то, что в рандомизированных сравнительных вычислениях неверность даже не кажется большой мерой , но это число, которое используется каждый раз, когда я наблюдаю, когда сравниваю значения для квантовых процессоров. ³

Итак, почему (в) верность является основным значением для расчета ошибок логического элемента в квантовых процессорах (с использованием рандомизированного бенчмаркинга), когда кажется, что он не имеет полезного значения, а другие методы, такие как нормы Шаттена, легче вычислить на классическом компьютере?

^{1 Шаттеновская p-норма $M$ есть $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 т.е. подключите модель шума к (классическому) компьютеру и смоделируйте}

^{3 Например, IBM QMX5}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— Mithrandir24601
источник

У Нильсена и Чуанга в их книге «Квантовые вычисления и квантовая информация» есть раздел (глава 9) о мерах расстояния для квантовой информации.

Удивительно, но в разделе 9.3 они говорят: «Насколько хорошо квантовый канал сохраняет информацию?» что при сравнении верности с нормой трассировки:

Используя свойства расстояния трассировки, установленные в последнем разделе, по большей части несложно дать параллельное развитие, основанное на расстоянии трассы. Однако оказывается, что точность является более простым инструментом для расчета, и по этой причине мы ограничиваемся соображениями, основанными на точности.

Я полагаю, что это отчасти то, почему используется верность. Кажется, это довольно полезно в качестве статической меры расстояния.

Похоже, что существует довольно прямое расширение верности ансамблям государств.

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

$p_j$ вероятность подготовки системы в состояниях и конкретного интересующего канала с шумом, . $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

Есть также расширение верности запутанности, чтобы измерить, насколько хорошо канал сохраняет запутанность. Учитывая состояние предполагаемое каким-то образом запутанным во внешний мир, и очищение состояния (фиктивная система ), такое, что является чистым. Состояние подвергается динамике в канале . Простые числа указывают состояние после применения квантовой операции. тождественное отображение на системе . $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

Есть некоторые формулы, полученные для упрощения вычислений верности и верности запутанности, также приведенные в этой главе.

Одним из привлекательных свойств точности запутывания является то, что существует очень простая формула, которая позволяет точно рассчитать ее.

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

где «операционные элементы» удовлетворяют отношению полноты. Может быть, кто-то еще может прокомментировать более практические реализации, но это то, что я понял после прочтения. $E_i$

Обновление 1: Re M.Stern

Это то же самое, что Нильсен и Чуан. Они комментируют это, говоря: «Вы можете задаться вопросом, почему верность, отображаемая в правой части определения, возведена в квадрат. Есть два ответа на этот вопрос, один простой и один сложный. Простой ответ состоит в том, что включение этого квадратного термина делает верность ансамбля более естественно связана с верностью запутанности, как определено ниже. Более сложный ответ заключается в том, что квантовая информация в настоящее время находится в зачаточном состоянии, и не совсем ясно, каковы «правильные» определения для таких понятий, как информация Сохранение! Тем не менее, как мы увидим в главе 12, средняя точность по ансамблю и точность запутанности дают начало богатой теории квантовой информации, которая заставляет нас полагать, что эти меры находятся на правильном пути,

Чтобы ответить на ваш второй вопрос, почему бы не посмотреть на верность , есть точка хорошо упоминается в «меры различимости между ансамблями квантовых состояний» , которые я думаю , что в PhysRevA но есть версия Arxiv здесь . $\bar{\rho}$

Пункт, который они упоминают на стр. 4: предположим, что у вас есть два ансамбля и которые имеют одинаковую матрицу средней плотности по ансамблю: , а затем точность не может различить их. $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Обновление 2: Re Mithrandir24601 Таким образом, одно определение для достоверности гейта мотивируется размышлением о том, каково наихудшее поведение канала для данного входного состояния. $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Из-за вогнутости обоих аргументов вы можете ограничиться чистыми состояниями в этой минимизации, эквивалентность во второй части - просто обозначение.

Определяя, насколько хорошо реализован вентиль, можно также взглянуть на реализацию унитарного вентиля в худшем случае по каналу , определив $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

В формуле, которую вы дали, и в статье, которую вы связали, они объединяются через с соответствующей мерой . Это заставляет меня думать, что это следует рассматривать как среднюю точность воспроизведения , что, как вы можете себе представить, может оказаться более полезным в практических экспериментах, особенно если вы повторяете эксперимент. Вероятно, вряд ли достичь точного минимума. $\psi$ $^*$ $\bar{F}(U,\tilde{U})$

Там есть версия Arxiv из бумаги здесь Майкл Нильсен , где он говорит о средней верности ворота.

Единственное дополнительное различие между верностью для гейта и средней верностью упомянутого гейта по сравнению с формулой, которую вы изначально предоставили, это квадрат трассы: который у вас есть. Как и в обновлении 1, некоторые люди предпочитают использовать в качестве верности, а не , так как он предположительно может быть более легко связан с верностью запутывания. Мне нужно прочитать немного больше об этом, чтобы правильно прокомментировать. $[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

( ) В сторону : я думаю, что называть это «мерой Хаара» может ввести в заблуждение, я видел это и в газетах. Насколько я знаю, пространство чистых состояний обычно топологически , для мерного гильбертова пространства. Видимо, мера, которую они используют, унаследована от меры Хаара на частным или около того, я прочитал здесь: /physics//a/98869/41998 . $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

— snulty
источник

Это дает разумное объяснение того, почему это может быть полезно для государств, и немного о точности запутывания, безусловно, интересно. Тем не менее, проблема, с которой я столкнулся, заключается в том, что если сделать то же самое для ворот, то это не сработает. (если я не пропущу что-то еще)

— Mithrandir24601

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$

@ M.Stern Я переместил свои комментарии в обновление.

— неловкий

@ Mithrandir24601 Извиняюсь за медленный ответ, я пытался найти время, чтобы прочитать статью, на которую вы ссылались, и время, чтобы написать ответ! См. Обновление 2.

— Snulty

Что касается вас, вы правы - я просто ленивый физик. Это есть (к моему знанию) меру Хаара, но называть это «мера Хаара по состояниям» есть, да, но не совсем наиболее технически точное утверждение никогда ... Что чуть больше беспокоит то , что Arxiv в настоящее время , кажется, вниз :(

— Mithrandir24601