Что такое квантовое запутывание, и какую роль оно играет в квантовой коррекции ошибок?

11

Я хочу понять, что такое квантовая запутанность и какую роль она играет в квантовой коррекции ошибок.

Примечание : В соответствии с предложениями @JamesWootton и @NielDeBeaudrap, я задал отдельный вопрос для классической аналогии здесь .

entanglement error-correction

— Chinni
источник

3

Я бы сказал, что это слишком широкий вопрос. Возможно, что-то вроде «почему запутанность необходима для квантовой коррекции ошибок», и есть отдельный вопрос для классической аналогии.

— Джеймс Вуттон

1

Я отредактировал один вопрос, а затем понял, что это сместит мой ответ на вопрос о пирамидах. Но @Chinni, я согласен с Джеймсом, что вы должны сосредоточиться на одном из двух вопросов.

— Ниль де Бодрап,

@JamesWootton и Niel, спасибо за совет. Я буду иметь это в виду с этого момента. Но так как на этот вопрос уже есть три ответа, будет ли хорошо, если я разделю его на два отдельных вопроса?

— Чинни

@Chinni Я думаю, это нормально. Возможно, вам следует уведомить ответчиков в комментариях под их ответом, что они также могут «разделить» свой ответ (если применимо).

— Дискретная ящерица

6

Классические корреляции между переменными возникают, когда переменные кажутся случайными, но их значения систематически согласуются (или не соглашаются) каким-либо образом. Тем не менее, всегда будет кто-то (или что-то), который «точно знает», что переменные делают в любом конкретном случае.

Запутывание между переменными одинаково, за исключением последней части. Случайность действительно случайна. Случайные результаты полностью не определены до момента измерения. Но каким-то образом переменные, хотя они могут быть разделены галактиками, все еще знают, что согласны.

Так что это значит для исправления ошибок? Давайте начнем думать о коррекции ошибок для простого бита .

При сохранении классического бита, о типах ошибок, о которых вам нужно беспокоиться, являются такие вещи, как переворачивание и удаление битов. Так что-то может заставить вас 0стать 1, или наоборот. Или ваш кусочек может куда-нибудь уйти.

Чтобы защитить информацию, мы можем гарантировать, что наши логические биты (фактическая информация, которую мы хотим сохранить) не просто сконцентрированы на отдельных физических битах . Вместо этого мы распространяем это. Таким образом, мы могли бы использовать простое кодирование повторения, например, где мы копируем нашу информацию во множество физических битов. Это позволяет нам по-прежнему получать информацию, даже если некоторые физические биты не сработали.

Это основная работа по исправлению ошибок: мы распространяем нашу информацию, чтобы из-за ошибок не было ошибок.

Для кубитов есть еще много видов ошибок, о которых нужно беспокоиться. Например, вы можете знать, что кубиты могут находиться в состоянии суперпозиции, и измерения меняют их. Поэтому нежелательные измерения являются еще одним источником шума, вызванного взаимодействием окружающей среды (и, в некотором смысле, «наблюдением» за нашими кубитами). Этот тип шума известен как декогеренция.

Так как это влияет на вещи? Предположим, мы используем кодировку повторения с кубитами. Таким образом, мы заменим в нашем желаемом логическом состоянии кубита с , повторяется во многих физических кубитах и заменяет с . Это опять-таки защищает от переворота и стирания битов, но делает его еще проще для случайных измерений. Теперь окружающая среда измеряет, есть ли у нас или , глядя на любой из многих кубитов. Это сделает эффект декогеренции намного сильнее, а это совсем не то, что мы хотели! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Чтобы это исправить, нам нужно усложнить декогеренцию нарушение нашей логической информации о кубите, так же как мы сделали это трудно для переворачивания и стирания битов. Для этого нам нужно усложнить измерение нашего логического кубита. Конечно, не слишком сложно, чтобы мы не могли сделать это, когда бы мы ни захотели, но слишком сложно, чтобы окружение было легко. Это означает, что измерение одного физического кубита ничего не должно сказать нам о логическом кубите. Фактически, мы должны сделать так, чтобы измерять целую кучу кубитов и сравнивать их результаты для извлечения любой информации о кубите. В каком-то смысле это форма шифрования. Вам нужно достаточно кусочков головоломки, чтобы иметь представление о картине.

Мы могли бы попытаться сделать это классически. Информация может быть распределена в сложных корреляциях между многими битами. Рассматривая достаточное количество битов и анализируя корреляции, мы можем извлечь некоторую информацию о логическом бите.

Но это не единственный способ получить эту информацию. Как я уже упоминал ранее, классически всегда есть кто-то или что-то, что уже все знает. Неважно, человек ли это, или просто шаблоны в воздухе, которые были вызваны во время шифрования. В любом случае, информация существует вне нашей кодировки, и это по сути среда, которая знает все. Само его существование означает, что декогеренция произошла в непоправимой степени.

Вот почему нам нужно запутаться. С его помощью мы можем скрыть информацию, используя корреляции в истинных и непознаваемых случайных результатах квантовых переменных.

— Джеймс Вуттон
источник

5

Запутывание является естественной частью квантовой информации и квантовых вычислений. Если его нет - если вы пытаетесь делать вещи таким образом, чтобы не возникало запутывания, - тогда вы не получаете никакой выгоды от квантовых вычислений. И если квантовый компьютер делает что-то интересное, он будет сильно запутываться, по крайней мере, в качестве побочного эффекта.

Однако это не означает, что запутанность - это «то, что заставляет работать квантовые компьютеры». Запутывание похоже на вращающиеся шестерни машины: ничего не происходит, если они не вращаются, но это не значит, что быстрое вращение этих шестерен достаточно, чтобы машина делала то, что вы хотите. (Запутывание является примитивным ресурсом для общения , но не для вычислений, как кто-либо видел.)

Это верно как для квантовой коррекции ошибок, так и для вычислений. Как и все формы исправления ошибок, квантовая коррекция ошибок работает путем распределения информации вокруг более крупной системы, в частности в корреляциях определенных измеряемых фрагментов информации. Запутывание - это просто обычный способ, с помощью которого квантовые системы становятся коррелированными, поэтому неудивительно, что хороший код с квантовой коррекцией ошибок влечет за собой много запутывания. Но это не значит, что попытка «накачать вашу систему, полную запутанности», как какой-то гелиевый шарик, является чем-то полезным или значимым для защиты квантовой информации.

Хотя квантовое исправление ошибок иногда описывается неопределенно в терминах запутывания, более важным является то, как оно включает в себя проверки на четность с использованием различных «наблюдаемых». Наиболее важным инструментом для описания этого является формализм стабилизатора. Формализм стабилизатора можно использовать для описания некоторых состояний с большим количеством запутывания, но, что более важно, он позволяет достаточно легко рассуждать о свойствах множества кубитов («наблюдаемых»). С этой точки зрения можно понять, что квантовое исправление ошибок гораздо более тесно связано с физикой многих тел низкоэнергетических спин-гамильтонианов, чем просто с запутанностью в целом.

— Ниль де Бодрап
источник

4

Нет классического эквивалента запутанности. Запутанность, пожалуй, лучше всего понять с помощью нотации Дирака (Бра-Кета).

Неважно, что в этом примере запутанные кубиты оказываются в противоположных состояниях: они могут также находиться в одном и том же состоянии и все еще быть запутанными. Важно то, что их государства не являются независимыми друг от друга. Это вызвало большие головные боли у физиков, потому что это означает, что кубиты (или частицы, несущие их) не могут одновременно иметь строго локальные свойства и управляться концепцией, называемой реализмом (отражать их состояния как внутреннее свойство). Эйнштейн, как известно, назвал возникающий парадокс (если вы все еще предполагаете местность и реализм) «пугающим действием на расстоянии».

Запутывание не играет особой роли в квантовом исправлении ошибок: исправление ошибок должно работать для каждого состояния в вычислительной основе (которое не имеет запутанности). Затем он автоматически работает и для суперпозиций этих состояний (которые могут быть запутанными состояниями).

— пирамиды
источник

Я хочу лучше понять это, если есть запутанность, то улучшится ли производительность этих алгоритмов исправления ошибок или будет хуже? Кроме того, возможно ли иметь квантовую систему без запутывания?

— Чинни

\otimes

$\otimes$

@pyramids: Я думаю, что утверждение «нет классического эквивалента запутанности» является (хотя и распространенным) утверждением слегка сильным. Существует классический аналог , хотя он ни в коем случае не является загадочным. Мы вызываем его каждый раз, когда Объясните, что такое запутывание, а затем смело заявляйте, что «запутанность не имеет классического аналога», чтобы удержать людей от путаницы запутывания с тем же классическим аналогом. Но в контексте исправления ошибок роль этого классического аналога заключается именно в под вопросом, потому что это то, что заставляет работать классическую коррекцию ошибок

— Ниль де Бёдрап,

@NieldeBeaudrap То, как я понимаю запутанность (состояние, не являющееся продуктом), это утверждение является точным, а не чрезмерно сильным.

— пирамиды

Пара коррелированных классических случайных величин также является непроизвольным состоянием, и именно таким образом она является классическим аналогом запутывания. Что делает ваше утверждение «сильным», так это то, что существует свобода выбора в том, где человек проводит черту, между «аналогичными», а не «не аналогичными» явлениями, и вы случайно провели черту на высоком пороге (как условно делать с запутанностью по историческим причинам).

— Ниль де Бодрап,

4

Для определенного класса кодов, называемых чистыми , наличие запутанности является необходимым и достаточным требованием для квантовой коррекции ошибок, то есть для исправления всех ошибок, затрагивающих до определенного количества подсистем.

$\{E_\alpha\}$ $|i_\mathcal{Q}\rangle$ $E_\alpha$

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

$C(E_\alpha)$ $E_\alpha$ $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

$E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

$d$ $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

$(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

$E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

$d$

Приложение: мы рассмотрели этот вопрос более подробно, подробности можно найти в статье « Квантовые коды максимального расстояния и сильно запутанные подпространства» . Существует компромисс: чем больше ошибок может исправить квантовый код, тем более запутанным должен быть каждый вектор в кодовом пространстве. Это имеет смысл, потому что, если информация не распространяется среди множества частиц, среда, считывая несколько кубитов, может восстановить сообщение в пространстве кода. Тогда это обязательно уничтожит закодированное сообщение из-за теоремы о не клонировании. Таким образом, большое расстояние требует сильной запутанности.

— Феликс Хубер
источник

3

Вот способ подумать о роли запутанности в квантовых кодах, который, я думаю, дополняет ответ Феликса Хаберса.

$|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

Кроме того, существует энтропийный подход к условиям исправления ошибок (по сравнению с более алгебраическими условиями Книлла-Лафламма). В частности, если

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

$Q$ $S_1S_2$

Используя этот энтропийный подход к исправлению ошибок, существуют довольно прямые пути к пониманию запутанности в кодах. Например, мы можем доказать это,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

следующее. Сначала мы выпишем эту взаимную информацию с точки зрения ее определения,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

$X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

$Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

$2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— Алекс май
источник