В чем разница между суперпозициями и смешанными состояниями?

Мое понимание до сих пор таково: чистое состояние - это базовое состояние системы, а смешанное состояние представляет неопределенность относительно системы, то есть система находится в одном из набора состояний с некоторой (классической) вероятностью. Тем не менее, суперпозиции, похоже, тоже представляют собой смесь состояний, так как они вписываются в эту картину?

Например, рассмотрим честный бросок монеты. Вы можете представить его как смешанное состояние «голов» и «tails» :$\left|0\right>$$\left|1\right>$

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Однако мы также можем использовать суперпозицию «голов» и «хвостов»: определенное состояние с плотностью$\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Если мы измерим в вычислительной основе, мы получим тот же результат. В чем разница между наложенным и смешанным состоянием?

Нет , суперпозиция двух разных состояний - это совершенно другой зверь, чем смесь одинаковых состояний. Хотя из вашего примера может показаться, чтоидают одинаковые результаты измерения (и это действительно так), как только вы измеряете на другой основе, они дадут ощутимо разные результаты .ρ $\rho_1$$\rho_2$

«Суперпозиция», такая как является чистым состоянием . Это означает, что это полностью характерное состояние. Другими словами, нет никакого количества информации, которая, добавленная к его описанию, могла бы сделать ее "менее неопределенной". Обратите внимание, что каждое чистое состояние может быть записано как суперпозиция других чистых состояний. Запись данного состояния как суперпозиции других состояний - это буквально то же самое, что написание вектора в терминах некоторого базиса: вы всегда можете изменить базис и найти другое представление .| г | ⟩ v $\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Это прямо противоположно смешанному состоянию, подобному в вашем вопросе. В случае вероятностный характер результатов зависит от нашего незнания о самом государстве . Это означает, что, в принципе, можно получить некоторую дополнительную информацию, которая скажет нам, действительно ли находится в состоянии или в состоянии .$\rho_1$ρ 2 $\rho_1$$\rho_2$$\up$$\down$

Смешанное состояние, вообще говоря, не может быть записано как чистое состояние. Это должно быть ясно из приведенной выше физической интуиции: смешанные состояния представляют собой наше незнание о физическом состоянии, в то время как чистые состояния являются полностью определенными состояниями, которые, как оказалось, все еще дают вероятностные результаты из-за работы квантовой механики.

Действительно, существует простой критерий, позволяющий определить, можно ли записать данное (обычно смешанное) состояние какдля некоторого (чистого) состояния : вычисление его чистоты . Чистота состояния определяется как , и стандартным результатом является то, что чистота состояния равна тогда и только тогда, когда состояние является чистым (и меньше в противном случае).| г | ⟩ ⟨ г | | | г | ⟩ р $\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$1 $\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

Короткий ответ: в квантовой информации есть нечто большее, чем «неопределенность». Это потому, что существует несколько способов измерения состояния; и это потому, что существует более чем одна основа, в которой, в принципе, вы можете хранить и извлекать информацию. Суперпозиции позволяют выразить информацию в иной основе , чем расчетная основа - но смеси описывают наличие вероятностного элемента, независимо от того , основы которого вы используете , чтобы посмотреть на состоянии.

Более длинный ответ выглядит следующим образом -

Измерение, как вы описали, это конкретно измерение в вычислительной основе. Это часто описывается просто как «измерение» для краткости, и большие группы сообщества считают, что это основной способ измерения. Но во многих физических системах можно выбрать основу измерения .

Векторное пространство над имеет более одного базиса (даже более одного ортонормированного базиса), и на математическом уровне мало что делает один базис более особенным, чем другой, кроме того, что удобно думать математику около. То же самое верно и в квантовой механике: если вы не укажете какую-то конкретную динамику, не будет основы, которая была бы более особенной, чем другие. Это означает, что вычислительный базис равен принципиально не отличается физически от другой основы, такой как | 0 ⟩ = [ 1 0 ]$\mathbb C$ | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ | г |⟩∈C2| +⟩| - $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ что также является ортонормированной основой. Это означает, что должен быть способ «измерить» состояние таким образом, чтобы вероятности исходов зависели от проекций на эти состояния и .$\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

В некоторых физических системах способ измерения состоит в том, чтобы буквально взять одно и то же устройство и наклонить его так, чтобы оно было выровнено по оси X вместо оси Z. Математически, способ, которым мы делаем это, должен рассмотреть проекторы а затем спросить, что такое проекции и . норма определяет вероятность "измерения| φ+⟩:=Π+| г |⟩| φ-⟩:=Π-| г |⟩| φ±⟩| +⟩| -⟩| φ+⟩| φ-⟩| +⟩| -⟩Π+Π

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$"и" измерения "и нормализации или для получения нормы 1 дает состояние после измерения. (Для состояния на одном кубите , это будет просто или . Более интересные состояния после измерения могут возникнуть, если мы рассмотрим мультикубитные состояния и рассмотрим проектор или действующий на один из множества кубитов .)$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

Для операторов плотности берется состояние котором вы хотите выполнить измерение, и учитываются и . Эти операторы могут быть таким же образом, каким могут быть состояния , в том смысле, что они могут иметь трассу меньше 1. Значение трассы - вероятность получения результата или измерения; чтобы перенормировать, просто масштабируйте проектируемый оператор, чтобы иметь трассировку 1.$\rho$$\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

Рассмотрим ваше состояние выше. Если вы измерите его относительно , вы обнаружите, что . Это означает, что проецирование оператора с помощью действительно изменяет состояние, и что вероятность получения результата для измерения равна 1. Если вы сделаете это вместо этого с , вы найдете 50/50 шанс получить либо либо . Таким образом, состояние является смешанным состоянием, в то время как не является --- разница в том, что$\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$имеет определенный результат в основе измерения, отличной от стандартной. Вы можете сказать, что хранит определенную часть информации, хотя и в другой основе, чем в вычислительной.$\rho_2$

В более общем смысле смешанное состояние - это состояние, наибольшее собственное значение которого меньше 1, а это означает, что нет основы, в которой вы можете измерить его, чтобы получить определенный результат. Суперпозиции позволяют выражать информацию не на вычислительной основе, а на другой основе; Смеси представляют собой степень случайности в отношении состояния системы, которую вы рассматриваете, независимо от того, как вы измеряете эту систему.

Вместе с постом glS:

Смешанное состояние было бы, если бы у вас была банка краски, но вы не были уверены, было ли это синим или желтым. Вы знаете, что это либо один из двух, и как только вы откроете верх и измерите его, вы будете знать, но пока вы не сделаете это, он окажется в одном из этих двух чистых состояний. Если вы возьмете его из стопки банок, в которых вы знали, что банок с синей краской и желтой краски в равной степени много, вы ожидаете равного шанса того, что она будет одной или другой. 50% времени это будет 100% желтый и 50% времени это будет 100% синий.

Суперпозиция больше похожа на то, если вы возьмете половину банки синего и половину банки желтого и смешаете их вместе. Теперь вы создали новое чистое состояние, которое можно выразить как комбинацию других чистых состояний. Если вы проверяете его «синеву», он составляет около 50%. Если вы проверяете его «желтизну», он составляет около 50%. Он одновременно желтый и синий. 100% времени это одновременно 50% синий и 50% желтый.

Если вы измерили количество синего и желтого в одной пачке синих или желтых банок, а затем в другой пачке зеленого цвета, вы можете быть смущены, увидев, что у вас столько же синего и желтого в обоих стеках, но разница в том, что blueness 'и' yellowness 'находятся в смешанном состоянии в более позднем стэке, но в суперпозиции в последнем.