Учитывая разложение для унитарного

13

Предположим, что у нас есть разложение схем унитарного $U$ с использованием некоторого универсального набора затворов (например, CNOT-вентили и унитарные однобитные). Есть ли прямой способ записать схему соответствующего контролируемого унитарного $C_U$ используя тот же универсальный набор затворов?

Например, возьмем $U=i Y = H X H X$ в качестве схемы:

Мы можем заменить ворота $X$ на $C_X$ (CNOT), чтобы получить $C_U$ :

Это работает, потому что если контрольный кубит находится в состоянии действие на цель , в то время как для она применяет схему для . Для разных , в частности, если он действует на несколько кубитов, создание такой схемы может быть громоздким. Есть ли рецепт для получения схемы учитывая, что вы знаете, как построить ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— М. Стерн
источник

Вы спрашиваете, как построить CU из произвольного однобитного U? Метод для этого можно найти в главе 4 N & C (см., Например, рис. 4.6 в последнем издании), которая в основном является обобщением разложения, которое вы показали

— glS

@ вау, я не знал об этом. Выглядит так же, как мой пример. Приятно видеть, как реализуется фаза

. Но они, кажется, не обсуждают обобщение для большего количества целевых кубитов?

α

$\alpha$

— М. Штерн

15

Вопрос может быть не совсем четким, в том смысле, что для запроса способа вычисления из разложения вам нужно указать набор элементов, которые вы готовы использовать. Действительно, это известный результат, что любой кубитный вентиль может быть точно разложен с использованием операций и однобитного, так что наивный ответ на вопрос будет таким: просто разложить с использованием однобитного и $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ s.

Иное толкование вопроса состоит в следующем: дано , может я вычислить с использованием набора одного кубита операций и с не на контрольной кубите и с с контролем , являющийся первым кубитом? Это можно сделать, обобщив результат, найденный в четвертой главе Nielsen & Chuang $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$ .

Пусть - одноквитный вентиль. Затем можно доказать, что всегда можно записать в виде , где - вентиль Паули X, а и - операции с одним кубитом, такие что ( см. N & C для доказательства). Отсюда следует, что $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ где

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

является фазовым затвором, применяемым к первому кубиту, и

представляют собой

применяется ко второму кубиту. Это сразу, как только вы поймете, что, если этот первый кубит равен

, то

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ становится идентичностью, и на втором кубите у вас есть операции

, которые дают идентичность. С другой стороны, если первый кубит равен

, а затем на втором рельсе вы имеете

, который (вместе с фазой) равна

по определению.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

Вышеупомянутое разложение может использоваться, чтобы найти наивный способ вычисления для общего кубитного унитарного вентиля. Основное наблюдение состоит в том, что , если для любого набора вентилей , то $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$ Но мы также знаем, что любой

кубит

n

$n$

U

$U$ можно разложить в терминах CNOT и операций с одним кубитом. Отсюда следует, что

представляет собой последовательность операций CCNOT и

, где CCNOT - это здесь

вентиль, применяемый к некоторому кубиту, обусловленному двумя другими кубитами, являющимися

, и

представляет собой операцию одного кубита на некотором кубите. Но опять же, любая операция CCNOT (также называемая Toffoli ) может быть разложена, как показано на рисунке 4.9 в N & C, и

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ разложены, как показано в первой части ответа.

$n$ $U$ $\text{CNOT}$

— GLS
источник

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$ and single qubit gates. Then for single-qubit gates we replace

A_{i}

$A_i$ by

C (A_{i})

$C(A_i)$ , which is constructed following the description in N&C. And the

C (X)

$C(X)$ are replaced by Toffoli gates (which might also be decomposed). Right?

— M. Stern

@M.Stern well almost. If

U

$U$ contains a

C (X)

$C(X)$ (which more precisely would be a

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$ , acting between

i

$i$ -th and

j

$j$ -th qubit, with

i, j > 1

$i, j>1$ ), then the equivalent gate in

C (U)

$C(U)$ is already a Toffoli gate, with first and

i

$i$ -th qubits as control and

j

$j$ -th qubit as target. You can therefore go and replace the Toffolis using the known decompositions

— glS

5

Although this might not answer your question completely, I think it might provide some direction of thinking. Here are two important facts:

Any unitary $2^{n}\times 2^{n}$ matrix $M$ , can be realized on a quantum computer with $n$ -quantum bits by a finite sequence of controlled-not and single qubit gates¹.
Suppose $U$ is a unitary $2\times 2$ matrix satisfying $\text{tr } U \neq 0$ , $\text{tr} (UX) \neq 0$ , and $\text{det } U \neq 1$ . Then six elementary gates are necessary and sufficient to implement a controlled $U$ -gate².

It should be possible to extend the second case to the general $n\times n$ case, given the first point, although I haven't found any paper which does that explicitly.

1 Elementary gates for quantum computation-A. Barenco (Oxford), C. H. Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), D. P. DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Optimal Realizations of Controlled Unitary Gates - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

— Sanchayan Dutta
источник