Как масштабирование аппроксимирующих ворот через универсальные ворота зависит от длины вычислений?

Я понимаю, что есть конструктивное доказательство того, что произвольные вентили могут быть аппроксимированы конечным универсальным множеством ворот, который является теоремой Соловая – Китаева .
Тем не менее, аппроксимация вносит ошибку, которая будет распространяться и накапливаться при длительных вычислениях. Это, вероятно, будет плохо масштабироваться с длиной расчета? Возможно, можно применить алгоритм приближения ко всей схеме в целом, а не к одному затвору. Но как это масштабируется с длиной вычисления (т.е. как масштабирование приближения с размером ворот)? Как приближение гейта связано с синтезом гейта? Потому что я могу представить, что это влияет на окончательную длину вычислений?
Еще больше меня беспокоит: что произойдет, если длина вычисления неизвестна во время компиляции последовательности ворот?

— М. Стерн
источник

Во всем этом ответе норма матрицы , будет приниматься за спектральную норму (то есть наибольшее сингулярное значение ). Теорема Соловая-Китаева утверждает, что для аппроксимации гейта с ошибкой требуются вентили для в любом фиксированном числе измерений. $A$ $\left\lVert A\right\rVert$ $A$ $A$ $\epsilon$

O (\log^{c} \frac{1}{ϵ})

$\mathcal O\left(\log^c\frac 1\epsilon\right)$

c < 4

$c<4$

Для первой части:

аппроксимация вносит ошибку, которая будет распространяться и накапливаться в длинных вычислениях

Что ж, по индукции можно показать, что ошибки, накапливающиеся при использовании одной матрицы для аппроксимации другой, являются субаддитивными (см., Например , лекционные заметки Эндрю Чайлда ). То есть, для унитарных матриц и , . $U_i$ $V_i$ $\left\lVert U_i - V_i\right\rVert < \epsilon\,\forall\, i \in \left\lbrace1, 2, \ldots, t\right \rbrace\implies \left\lVert U_t\ldots U_2U_1 - V_t\ldots V_2V_1\right\rVert \leq t\epsilon$

С точки зрения реализации это означает, что для достижения общей ошибки, не превышающей , каждый вентиль должен быть аппроксимирован с точностью до , или $\epsilon$ $\epsilon/t$

применяя приближение к схеме в целом

это то же самое, что применение аппроксимации к каждому отдельному элементу, каждый с отдельной ошибкой не более, чем ошибка всей схемы, деленная на число элементов, которые вы приближаете.

С точки зрения синтеза шлюза, алгоритм выполняется путем взятия произведений набора для формирования нового набора который образует сеть для (для любой ). Начиная с идентичности, новый унитарный рекурсивно найден из новых ворот, чтобы получить более плотную сеть вокруг целевого унитарного. Как ни странно, время для классического алгоритма для выполнения этой операции также равно , что является субполиномиальным временем. Однако согласно $\Gamma$ $\Gamma_0$ $\epsilon^2$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $A \in \operatorname{SU}\left(d\right),\, \exists U\in\Gamma_0\, s.t. \left\lVert A-U\right\rVert\leq\epsilon^2$ $\mathcal O\left(\mathit{poly} \log 1/\epsilon\right)$ Harrow, Recht, Chuang , в измерениях, как шар радиуса вокруг имеет объем , это масштабируется экспоненциально в для нефиксированного числа измерений. $d$ $\epsilon$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $\propto \epsilon^{d^2-1}$ $d^2$

Это влияет на окончательное время вычислений. Однако, поскольку масштабирование как числа вентилей, так и классической вычислительной сложности является субполиномиальным, это не меняет класс сложности любого алгоритма, по крайней мере для обычно рассматриваемых классов.

Для ворот, общее (время и ворота) сложность затем $t$ .

O (t p o l y \log \frac{t}{ϵ})

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac t\epsilon\right)$

При использовании модели унитарной схемы без промежуточных измерений число вводимых затворов всегда будет известно до вычисления. Тем не менее, можно предположить, что это не тот случай, когда используются промежуточные измерения, поэтому, когда число затворов, которые вы хотите приблизить, неизвестно, это говорит о том, что неизвестно. и если вы не знаете, что такое , вы, очевидно, не сможете приблизить каждый гейт к ошибке . Если вы знаете ограничение на число ворот (скажем, ), то вы можете приблизить каждый вентиль с точностью до чтобы получить общую ошибку $t$ $t$ $\epsilon/t$ $t_{\text{max}}$ $\epsilon/t_{\text{max}}$ $\leq\epsilon$ и сложность хотя без верхней границы числа Гейтс известен , тогда каждый гейт будет приближен к некоторому (меньшему) , давая общую ошибку для результирующего числа реализованных гейтсов (которое неизвестно в начале) , с общая сложность

O (t p o l y \log \frac{t_{max}}{ϵ}),

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac {t_{\text{max}}}{\epsilon}\right),$

ϵ^{'}

$\epsilon'$

\leq t^{'} ϵ

$\leq t'\epsilon$

t^{'}

$t'$

O (t^{'} p o l y \log \frac{1}{ϵ^{'}}) .

$\mathcal O\left(t'\, \mathit{poly} \log \frac {1}{\epsilon'}\right).$

Конечно, общая ошибка это по - прежнему ограничено, поэтому один простой ¹ способ держать ошибку , ограниченную бы уменьшить ошибку каждый раз , когда на коэффициент, скажем, , так что затвора будет реализовано с ошибкой . Тогда сложность будет давая общую (теперь полиномиальную) сложность хотя у этого есть преимущество гарантированной ограниченной ошибки. $2$ $n^{th}$ $\epsilon/2^n$

O (p o l y \log \frac{2^{n}}{ϵ^{'}}) = O (p o l y n \log \frac{1}{ϵ^{'}}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly} \log \frac {2^n}{\epsilon'}\right) = \mathcal O\left(\mathit{poly}\, n\log \frac {1}{\epsilon'}\right),$

O (p o l y t \log \frac{1}{ϵ}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly}\, t \log \frac {1}{\epsilon}\right),$

Это не так уж и плохо, поэтому я надеюсь, что (когда число вентилей неизвестно), классические компьютеры будут способны придумывать правильные вентили, по крайней мере, так быстро, как это понадобится квантовому процессору. Если не в настоящее время, то, надеюсь, когда квантовые процессоры станут достаточно хорошими, чтобы это действительно стало проблемой!

^{1 Хотя, вероятно, не самый эффективный}

— Mithrandir24601
источник