Оценка погрешности расчетов, выполненных с использованием непроецированных и спроецированных данных

Этот вопрос строится на вопросе, озаглавленном « Расчет направления потока и разграничение бассейнов на основе спроецированных и непрогнозированных данных». Расчет направления потока и разграничение бассейнов на основе спроектированных и непроектированных данных матрицы высот

Однако это совершенно отдельный вопрос, так как вышеупомянутый вопрос установил, что существуют проблемы с использованием алгоритмов (например, направление потока ArcGIS), которые предполагают евклидово расстояние на данных в сферической / незапланированной географической системе координат.

Мы знаем, что проекции карты - это все равно, что брать апельсиновую корку и пытаться сгладить ее на столе - у вас будет некоторая ошибка, присущая проекции карты. Но, похоже, что преимущества проецирования компенсируют любую ошибку, особенно когда вы выполняете вычисления, которые предполагают декартову / спроецированную плоскую поверхность. В этом случае интересующий меня алгоритм - это алгоритм направления потока ArcGIS, который предполагает, что ваши данные проецируются (и это предположение принимается большинством приложений, основанных на моих исследованиях), поскольку он использует евклидовый подход для вычисления расстояния.

Мой вопрос : как можно количественно определить ошибку, которая может быть внесена при расчете направления потока в данной области исследования с использованием непроецированных данных матрицы высот (данных матрицы высот в географической системе координат) по сравнению с проецируемыми данными (данными матрицы высот в соответствующей проекции, такой как UTM или что-то конформное)?

Конечно, вы можете получить растр направления потока, используя не спроецированные и затем те же данные матрицы высот, которые спроецированы. Но что тогда? Поскольку наша цель - максимально точно смоделировать земную поверхность (и мы не рассматриваем какие-либо ошибки, которые могут возникнуть в процессе создания оригинальной матрицы высот и т. Д., На мой взгляд, это константа) .... мы просто предполагаем, что данные о направлении потока, полученные из спроектированной матрицы высот, лучше, а затем сравниваем значения отдельных ячеек двух растров, чтобы определить, какие ячейки имеют разные значения направленности (в контексте обычной модели D-8 )? Я полагаю, что для этого вам нужно будет взять растр направления потока, полученный из непроецированных данных, а затем применить ту же проекцию, которая использовалась с прогнозируемым растром направления потока.

Что было бы наиболее разумным, и с чем следует сравнивать незапроектированную ЦМР как эталон точности?

Проникновение в мельчайшие подробности математических уравнений может, для тех, кто их понимает, дать вам подтверждение на уровне земли и будет достаточно для некоторых, но это также как и то, что может передать ошибку тому, у кого нет глубокое понимание математики, но может просто знать достаточно географии / ГИС, чтобы быть опасным, было бы здорово (в идеале, оба уровня были бы хороши, что резонировало бы с хардкорными фанатами географии и средними любителями ГИС). Для людей более высокого уровня, высказывание, что доказательство в математике, возможно, оставляет его несколько открытым для аргументов - я ищу что-то более осязаемое (например, родственное привязывание цифры в долларах к какой-то неэффективности в правительстве).

Любые мысли или идеи о том, как можно измерить это, будут с благодарностью.

Том

Анализ уже был сделан в ответ на предыдущий вопрос , но, возможно, поможет иллюстрация.

Существуют два основных компонента ошибки: алгоритм «d8», который представляет потоки только в восьми основных направлениях, и эффект проекции (или ее отсутствие). Давайте сосредоточимся на последнем, потому что это, кажется, главная проблема.

Ошибка зависит от искажений в проекции и от самой местности. Локально, в небольшом регионе, все проекционные искажения на земной поверхности растягиваются в одном направлении по сравнению с перпендикулярным направлением: вот почему (правильно рассчитанная) Индикаторная система Tissot представляет собой идеальный эллипс, поскольку эллипс - это просто вытянутый круг. Рельеф может иметь любой аспект (направление потока). Чтобы справиться с этим, давайте рассмотрим местность, которая действительно имеет точки во всех возможных направлениях с простыми линиями потока: конус .

На этой цветовой контурной карте конусной высоты наложена линия линий тока, показывающая направления потока воды. Вы можете подтвердить правильность этих линий тока, проверив, что они пересекают контуры под прямым углом.

Выбирая соответствующие единицы измерения и подходящее начало координат для системы координат (на вершине конуса), уравнение для возвышения в терминах координат (x, y) просто

z = -Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Линии тока всегда параллельны градиенту z (в обратном направлении), вычисляемому путем дифференцирования этой формулы по x и y :

-Grad (z) = (x, y) / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Коэффициент 1 / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) не меняет направление, поэтому мы можем его игнорировать для понимания линий тока. Таким образом, в любом месте (x, y) линия тока указывает в направлении (x, y).

Эффект горизонтального растяжения в координатах (в 2 раза на этом изображении) заключается в растяжении всех контуров (без изменения уровней контуров: высоты не зависят от проекций). Хотя (конечно) контуры представляют собой настоящие круги, они больше не выглядят как настоящие круги на карте. Тем не менее, когда линии тока вычисляются в этих координатах, они должны пересекать контуры под прямым углом, как и раньше.

Эффект растяжения состоит в том, чтобы поместить отметку в любой точке координат (x, y) в новые координаты (растянуть x, y). Рассмотрим это в обратном порядке: высота в координатах (X, Y) = (растянуть x, y) должна быть значением z, вычисленным при (x, y) = (X / растянуть, Y). Поэтому уравнение видимой поверхности в этой проекции

z = -Sqrt ((x / stretch) ^ 2 + y ^ 2).

Различая, мы вычисляем

-Grad (z) = (x / stretch ^ 2, y) / Sqrt ((x / stretch) ^ 2 + y ^ 2).

Опять же, общий фактор не имеет значения; таким образом, в любом месте (x, y) вычисленная линия тока указывает направление (x / stretch ^ 2, y) . Эта формула использовалась для рисования линий тока на предыдущем рисунке. Вы можете видеть, что они правильно пересекают контуры под прямым углом.

Это третье изображение воспроизводит предыдущее изображение. Поверхность показана еще раз без искажений. Однако линии тока больше не пересекают контуры под прямым углом. Это имело место даже на предыдущем изображении: из-за искажения в нем углы выглядели только прямыми. Пересечения были неправильными все время. Вот почему не проецирование (или использование неконформной проекции) является ошибкой. Вопрос в том, насколько большой ошибкой это может быть. Некоторые утверждают, что это не имеет большого значения (по крайней мере, в низких и умеренных широтах).

Эта репроекция (для удаления искажений на карте) перемещает точку в (x * stretch, y) обратно в (x, y). Направление потока, ранее вычисленное в этой точке, было сохранено в сетке (в виде угла или кода направления): оно не изменяется. Поэтому вычисленное направление потока в точке (x, y) равно (x / stretch ^ 2, y).

Это количественно определяет эффект перепроецирования на все возможные направления потока, как показано различием между первым и последним графиком. Вот их наложение без контурного графика для отвлечения:

Репроекция влияет на направления по-разному в зависимости от того, как поток ориентирован относительно главной оси индикатрис Tissot. Это квадратичная функция относительного линейного искажения в проекции. Как таковой, он преувеличивает даже незначительные искажения. (Коэффициент два проиллюстрирован здесь несколько экстремальный , но реалистичный: это искажение введено не в проект --that есть, используя географические координаты в качестве координат карты - на широтах 60 градусов.)

Немного тригонометрии можно использовать эти результаты для вычисления угловой ошибки в направлении потока в зависимости от правильного направления. Вот график ошибок, связанных с использованием географической (непроецированной) системы координат на широтах 20, 30, 40, 50 и 60 градусов. (Конечно, большие ошибки связаны с более высокими широтами.)

«Истинное направление» в градусах к востоку от севера. Положительные угловые различия возникают, когда видимое направление (вычисленное без проецирования широты, долготы) против часовой стрелки от истинного направления.

Помните, вы должны наложить ошибки d8 поверх них!