Ответы:
Представление плоскости с четырьмя переменными - это коэффициенты в равенстве
ax + by + cz = d
Это можно увидеть как N = ( a , b , c ) как вектор нормалей, а d как расстояние от начала координат (в единицах длины- N ), и мы также можем записать это уравнение как N · P = d , где P = ( x , y , z ).
Это представление не позволяет определить конкретное «происхождение плоскости» - математические плоскости не имеют происхождения. (Однако бывает, что, поскольку N · P = d, мы можем установить P = ( d | N | -2 ) N и получить конкретную точку на плоскости: точку, ближайшую к началу координат системы координат .)
Если вы измените = на <или>, вы опишите «полупространство», которое можно использовать для таких вещей, как бесконечный пол в физическом движке; противоположное полупространство получается отрицанием как N, так и d .
«Обычно» - это довольно субъективное слово, по моему опыту, есть разные способы описания плоскости в трехмерном пространстве, которые более распространены из-за свойств, которые демонстрируют такие конструкции.
По поводу вашего вопроса, здесь есть возможность использовать 4 реальных значения для определения плоскости в трехмерном пространстве. Как вы указали, a, b, c могут быть компонентами вектора, перпендикулярного нужной плоскости. Если N = (a, b, c) - наш перпендикулярный вектор, вы можете найти точку на вашей плоскости, которая является P = d N для некоторого d реального и положительного. Здесь вы говорите, что d - это расстояние от начала координат в терминах N ; если N - единичный вектор, то d - это расстояние между исходной точкой и вашей плоскостью в том смысле, в котором обычно используется термин «расстояние» .
Удивительно, но вы можете определить любую возможную ориентированную плоскость, потому что вы можете использовать отрицательные значения d ; тем самым вы теряете прямое значение d как расстояния, пока не установите абсолютное значение ( | d | ).
Насколько я знаю, плоскость обычно определяется позицией, которая указывает нам, где находится источник, и нормалью, указывающей вверх от плоскости, чтобы сказать нам, в какой ориентации мы имеем. Обычно для этого используют два вектора.
С четырьмя переменными у вас недостаточно переменных, чтобы определить плоскость, у которой нет начала координат (0,0,0) или недостаточно переменных для учета всех поворотов.
Минимум, который нам понадобится для плоскости в трехмерном евклидовом пространстве с началом координат, который не находится в точке (0,0,0) и может быть ориентирован так, как нам нужно, составляет 5. Представьте себе единичную сферу, нам нужно 3 переменные, чтобы определить, где находится источник единичной сферы является (X, Y, Z). Затем нам нужны две переменные, чтобы определить, где находится «вверх» плоскости. Мы можем сделать это, используя описанный вектор, перейдя от начала сферы к ее поверхности, учитывая широту и долготу.
Как вы будете реконструировать самолет только с четырьмя переменными, я не знаю. Может быть, вы работаете в узкой области (плоскость всегда в (0,0,0) и четыре переменные являются кватернионами?) Или переменные не являются скалярами? В каком контексте вы используете это a, b, c, d?